genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in
eine ganze Zahl
derart, daß das Hauptideal
gleich
wird und das Produkt
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
ausfällt. Ferner läßt sich, wie leicht mit Rücksicht auf Satz 4, 6 und 8 ersichtlich ist, im Körper
gewiß eine Zahl
finden, so daß
gleich einem Bruche
wird, dessen Zähler
und dessen Nenner
zu 2 prim ausfallen. Endlich werde ein Primideal
in
bestimmt, welches den Bedingungen
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(7)
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genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in
eine ganze Zahl
derart, daß
und zugleich
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
ausfällt.
Wir haben nun auf Grund von Definition 18
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ferner ist
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.
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Endlich folgt bei Anwendung der Sätze 36 und 40
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und wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin
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,
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d. h. es ist
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und wegen (7) wird also auch
.
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(8)
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Wir betrachten nunmehr den Körper
und bedienen uns dann zum Beweise des Satzes 57 der nämlichen Schlußweise, welche wir beim Beweise des Satzes 48 angewandt haben. Aus (7) folgt, daß das Primideal
des Körpers
in
stets weiter zerlegbar ist. Wir unterscheiden ferner im