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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Andererseits erhalten wir, da nach Satz 36

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

ausfällt, die Gleichung

${\begin{aligned}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{1},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b}\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{2},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b_{2}}\cdots \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\lambda _{z},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)^{b_{z}}\\&=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\cdot \left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b}\left({\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b_{2}}\cdots \left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b_{z}}=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)^{b};\end{aligned}}$

wegen (5) und (6) entnehmen wir hieraus

$(-1)^{b}=+1$,

d. h. $b$ ist eine gerade Zahl.

Damit ist unsere Behauptung bewiesen und es muß mithin entweder das Primideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ weiter zerlegbar sein oder der Exponent $b$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\nu$ aufgeht, gerade ausfallen. In beiden Fällen aber kann, wie leicht ersichtlich, eine ganze Zahl ${\mathsf {A}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ gefunden werden, derart, daß $\textstyle {\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}$ einem Bruche $\textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}$ wird, dessen Zähler $\varrho$ und dessen Nenner $\sigma$ zu $2$ prim ausfallen, und aus (2) schließen wir dann

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

Diese Gleichung erhält mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gestalt

$\left({\frac {\underline {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$

und folglich ist nach Satz 50 auch

$\left({\frac {\varrho \,\sigma ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$,

d. h. $\varrho \,\sigma$ ist Normenrest im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ nach ${\mathfrak {l}}$ und folglich ist wegen Satz 56 auch $\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$. Damit ist der Satz 57 in dem Falle bewiesen, daß der Exponent $a$ gerade ausfällt.

Wir machen zweitens die Annahme, daß der Exponent $a$ ungerade ist und benutzen wiederum die Bezeichnungen wie in Satz 42. Wir bestimmen dann eine ganze zu $2$ prime Zahl $\mu ^{*}$ in $k$, für welche die Kongruenzen

${\begin{aligned}\lambda _{1}^{a}\mu ^{*}&\equiv \mu ^{h},\quad ({\mathfrak {l}}^{2l+1+ah}),\\\lambda _{1}^{a}\mu ^{*}&\equiv 1\,\,\,\,,\quad ({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

bestehen. Es sei ferner ${\mathfrak {p}}$ ein Primideal in $k$, welches den Bedingungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\,=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{\ast }}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{\ast }}}\right),$

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{\ast }}}\right),\dotsc ,\,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\,=\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{\ast }}}\right)\,\,\,\,$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 470. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/487&oldid=- (Version vom 9.9.2019)