erfüllt sind, wobei
,
, …,
,
,
, …,
die in Satz42 erklärte Bedeutung haben mögen. Da
im Körper
unzerlegbar sein soll, so ist nach Satz 4 und 6
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
und folglich wegen (1) auch nach
; mithin gelten nach Satz 39 die Gleichungen
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und wegen (3) ist daher
ein primäres Primideal. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so ist, wie man aus (3), (4) vermöge Satz 43 unter Hinzuziehung von Satz 28 erkennt,
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent; es ist folglich wegen (1)
gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent und nach Satz 8 zerfällt daher jedes der Primideale
,
, …,
im Körper
in zwei Primfaktoren. Im Beweise zu Satz 34 ist gezeigt worden, daß alle Ideale des Körpers
dem Hauptgeschlechte angehören. Die Charaktere der in
,
, …,
enthaltenen Primfaktoren des Körpers
müssen somit sämtlich
sein, d. h. es gelten die Gleichungen
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Würde nun auch
ausfallen, so müßte nach Satz 43 die Primärzahl
und folglich auch die Zahl
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
sein und dann zerfiele nach Satz 8 das Primideal
im Körper
in zwei Primfaktoren, was unserer Annahme entgegen ist. Es ist mithin notwendigerweise
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(5)
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Nunmehr setzen wir
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,
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so daß
prim zu
ist und
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten; es folgt dann
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,
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wobei
eine zu
prime ganze Zahl in
darstellt. Nach Satz 40 haben wir
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Ferner ist mit Rücksicht auf (2)
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;
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es wird daher
.
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(6)
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