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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

erfüllt sind, wobei $\varepsilon _{1}$, $\varepsilon _{2}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$, $\lambda _{1}$, $\lambda _{2}$, …, $\lambda _{z}$ die in Satz42 erklärte Bedeutung haben mögen. Da ${\mathfrak {l}}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ unzerlegbar sein soll, so ist nach Satz 4 und 6 $\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l}$ und folglich wegen (1) auch nach $2^{2}$; mithin gelten nach Satz 39 die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right)=+1$

und wegen (3) ist daher ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so ist, wie man aus (3), (4) vermöge Satz 43 unter Hinzuziehung von Satz 28 erkennt, $\pi \mu ^{*}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent; es ist folglich wegen (1) $\pi$ gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent und nach Satz 8 zerfällt daher jedes der Primideale ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ im Körper $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Im Beweise zu Satz 34 ist gezeigt worden, daß alle Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ dem Hauptgeschlechte angehören. Die Charaktere der in ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ enthaltenen Primfaktoren des Körpers $K\left({\sqrt {\pi }}\right)$ müssen somit sämtlich $+1$ sein, d. h. es gelten die Gleichungen

$\left({\frac {\lambda _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\left({\frac {\lambda _{3}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1,\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1.$

Würde nun auch $\textstyle \left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ ausfallen, so müßte nach Satz 43 die Primärzahl $\pi$ und folglich auch die Zahl $\mu ^{*}$ kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ sein und dann zerfiele nach Satz 8 das Primideal ${\mathfrak {l}}={\mathfrak {l}}_{1}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ in zwei Primfaktoren, was unserer Annahme entgegen ist. Es ist mithin notwendigerweise

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1.$

(5)

Nunmehr setzen wir

$(\nu )={\mathfrak {nl}}^{b}{\mathfrak {l}}_{2}^{b_{2}}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{b_{z}}$,

so daß ${\mathfrak {n}}$ prim zu $2$ ist und $b_{2}$, …, $b_{z}$ gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten; es folgt dann

$\nu ^{h}=\nu ^{*}\lambda _{1}^{b}\lambda _{2}^{b_{2}}\lambda _{3}^{b_{3}}\ldots \lambda _{z}^{b_{z}}$,

wobei $\nu ^{*}$ eine zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ darstellt. Nach Satz 40 haben wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1.$

Ferner ist mit Rücksicht auf (2)

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi \mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)$;

es wird daher

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{h},\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

(6)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 469. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/486&oldid=- (Version vom 9.9.2019)