Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/485

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Potenz auf, wobei $b_{2}\leqq b_{1}$, $a_{2}\leqq a_{1}$ ausfallen möge: wenn es dann in $k$ gewisse ganze Zahlen $\alpha$, $\beta$ gibt, für welche die Kongruenzen

${\begin{aligned}\nu _{1}&\equiv \alpha ^{2}\nu _{2},&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+b_{1}}),\\\mu _{1}&\equiv \beta ^{2}\mu _{2},&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a_{1}})\end{aligned}}$

gelten, so ist stets

$\left({\frac {\nu _{1},\,\mu _{1}}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\nu _{2},\,\mu _{2}}{\mathfrak {l}}}\right)$.

Den Beweis dieses Hilfssatzes führen wir leicht, indem wir uns der nämlichen Schlüsse wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 47 bedienen.

Satz 57. (Hilfssatz.) Es sei ${\mathfrak {l}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ und ferner seien $\nu$, $\mu$ beliebige ganze Zahlen ($\neq 0$) in $k$: wenn dann $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1$ ausfällt, so ist auch stets $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)=+1$.

Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen. Es sind zwei Fälle gesondert zu behandeln, je nachdem der Exponent $a$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\mu$ aufgeht, gerade oder ungerade ausfällt.

Im ersteren Falle bezeichnen wir mit ${\overline {\lambda }}$ irgendeine durch ${\mathfrak {l}}^{\frac {a}{2}}$, aber durch keine höhere Potenz von ${\mathfrak {l}}$ teilbare und zu ${\mathfrak {l}}_{2}$, ${\mathfrak {l}}_{3}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ prime ganze Zahl in $k$ und bestimmen dann eine ganze Zahl $\mu ^{*}$ in $k$ derart, daß sie die Kongruenzen

${\begin{aligned}{\overline {\lambda }}^{2}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&&({\mathfrak {l}}^{2l+1+a}),\\\mu ^{*}&\equiv 1,&&({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{2l_{3}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1})\end{aligned}}$

(1)

erfüllt und nicht zugleich das Quadrat einer Zahl in $k$ ist; es ist dann $\mu ^{*}$ eine zu $2$ prime Zahl und nach Definition 18 wird

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,{\overline {\lambda }}^{2}\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$,

wo die Produkte $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken sind. Wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$.

(2)

Wir wollen nun aus (2) beweisen, daß der Exponent $b$, zu dem ${\mathfrak {l}}$ in $\nu$ aufgeht, sicher dann gerade ausfallen muß, wenn das Ideal ${\mathfrak {l}}$ des Körpers $k$ auch in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ Primideal bleibt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es bliebe ${\mathfrak {l}}$ in $K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)$ Primideal. Wir bestimmen sodann ein Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches die Gleichungen

$\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon _{\frac {m}{2}}}{\mu ^{*}}}\right)$,

(3)

$\left({\frac {\lambda _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{1}}{\mu ^{*}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\lambda _{z}}{\mu ^{*}}}\right)$,

(4)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 468. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/485&oldid=- (Version vom 9.9.2019)