Potenz auf, wobei
,
ausfallen möge: wenn es dann in
gewisse ganze Zahlen
,
gibt, für welche die Kongruenzen
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gelten, so ist stets
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.
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Den Beweis dieses Hilfssatzes führen wir leicht, indem wir uns der nämlichen Schlüsse wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 47 bedienen.
Satz 57. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
und ferner seien
,
beliebige ganze Zahlen (
) in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen. Es sind zwei Fälle gesondert zu behandeln, je nachdem der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, gerade oder ungerade ausfällt.
Im ersteren Falle bezeichnen wir mit
irgendeine durch
, aber durch keine höhere Potenz von
teilbare und zu
,
, …,
prime ganze Zahl in
und bestimmen dann eine ganze Zahl
in
derart, daß sie die Kongruenzen
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(1)
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erfüllt und nicht zugleich das Quadrat einer Zahl in
ist; es ist dann
eine zu
prime Zahl und nach Definition 18 wird
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,
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wo die Produkte
über alle zu
primen Primideale
in
zu erstrecken sind. Wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin
.
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(2)
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Wir wollen nun aus (2) beweisen, daß der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, sicher dann gerade ausfallen muß, wenn das Ideal
des Körpers
auch in
Primideal bleibt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es bliebe
in
Primideal. Wir bestimmen sodann ein Primideal
, für welches die Gleichungen
,
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(3)
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,
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(4)
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