§ 37. Das Symbol
für beliebige ganze Zahlen
,
.
Wir dehnen nunmehr die Bedeutung des in Definition 17 eingeführten Symbols
auf den Fall aus, daß
,
beliebige ganze Zahlen in
sind; das so verallgemeinerte Symbol wird sich wiederum als gleichbedeutend mit dem allgemeinen Symbol
erweisen.
Definition 18. Es seien wie bisher
,
, …,
die voneinander verschiedenen Primfaktoren von
und es gehe das Primideal
genau zur
-ten, ferner gehen die Primideale
, …,
bez. zur
, …,
-ten Potenz in
auf; endlich seien
,
beliebige ganze Zahlen in
und es gehe in
genau die
-te Potenz von
auf: dann wird das Symbol
durch die Gleichung
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definiert; hierin ist das Produkt
über alle zu
primen Primideale
zu
erstrecken und
soll eine solche ganze Zahl sein, die den Kongruenzen
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genügt, wo
irgendeine ganze zu
,
, …,
prime Zahl in
bedeutet.
Wir zeigen wie in § 32, indem wir statt des dort benutzten Satzes 36 nunmehr den Satz 40 anwenden, daß das Symbol
durch die getroffenen Festsetzungen eindeutig bestimmt ist.
Aus der Definition 18 entnehmen wir leicht mit Benutzung der beiden letzten Formeln in Satz 14 die folgende dem Satz 45 entsprechende Tatsache:
Satz 55. (Hilfssatz). Wenn
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen in
sind, so gelten in bezug auf ein jedes in
aufgehende Primideal
die Formeln
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§ 38. Die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für beliebige ganze Zahlen
,
.
Um die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für beliebige ganze Zahlen
,
zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:
Satz 56. (Hilfssatz). Es sei
ein Primfaktor von
im Körper
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf; ferner seien
,
,
,
ganze Zahlen in
und es gehe in diesen Zahlen das Primideal
bez. genau zur
,
,
,
-ten