Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/483

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und wegen Satz 50 folgt hieraus das weitere System von $z$ Gleichungen

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{i}}{\mathfrak {w}}}\right),\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,z);$

(3)

dabei ist das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ zu erstrecken. Multiplizieren wir die $z$ Gleichungen (3) miteinander, so entsteht die Gleichung

$\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\nu ,\,\mu }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}}{\mathfrak {w}}}\right)$

und durch Multiplikation mit $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)$ erhalten wir hieraus die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu \mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}}{\mathfrak {w}}}\right),$

(4)

wo rechter Hand das Produkt $\textstyle \prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$, dagegen linker Hand das Produkt $\textstyle \prod$ über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ in $k$ genommen werden soll. Nun wird wegen der Kongruenz (2) die Zahl $\mu \,\mu _{1}\,\mu _{2}\,\ldots \mu _{z}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent nach $2^{2}$ und folglich ist gemäß Satz 36 die rechte Seite von (4) gleich $+1$; damit ist der Beweis für Satz 52 erbracht.

§ 36. Der erste Ergänzungssatz und das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste.

Wir heben einige besonders wichtige Folgerungen des Satzes 52 hervor.

Satz 53. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$ und $\varepsilon$ bedeute irgendeine Einheit in $k$; ferner sei ${\mathfrak {p}}$ ein zu $2$ primes Primideal und $\pi$ eine ganze Zahl in $k$, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$ ausfällt: dann gilt stets die Gleichung

$\left({\frac {\varepsilon }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\varepsilon ,\,\pi }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right).$

Dieser Satz 53 heiße der erste Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste im Körper $k$.

Satz 54. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$; ferner seien ${\mathfrak {p}}$, ${\mathfrak {q}}$ irgend zwei zu $2$ prime Primideale und $\pi$, $\varkappa$ ganze Zahlen in $k$, so daß $(\pi )={\mathfrak {p}}^{h}$, $(\varkappa )={\mathfrak {q}}^{h}$ wird: dann gilt die Gleichung

$\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{1}}}\right)\left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {\pi ,\,\varkappa }{{\mathfrak {l}}_{z}}}\right).$

Der Satz 54 heiße das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper $k$.

Wir können die Sätze 53 und 54 unmittelbar aus Satz 52 herleiten, indem wir in Satz 52 zunächst $\nu =\varepsilon$, $\mu =\pi$ und dann $\nu =\pi$, $\mu =\varkappa$ wählen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 466. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/483&oldid=- (Version vom 9.9.2019)