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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Nun ist nach Definition 17

$\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),\quad \left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

(2)

und da nach der ersten Formel in Satz 14 für jedes zu $2$ prime Primideal ${\mathfrak {w}}$

$\left({\frac {\nu ^{*},\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu ^{*},\,\nu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

ausfällt, so folgt aus (2) auch

$\left({\frac {\underline {\nu ^{*},\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ^{*},\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right)$

und daher wegen (1) auch

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\left({\frac {\underline {\mu ,\,\nu }}{\mathfrak {l}}}\right);$

diese Gleichung lehrt mit Rücksicht auf Satz 50 die Richtigkeit der ersten Formeln des zu beweisenden Satzes 51.

Die beiden letzten Formeln des Satzes 51 folgen unmittelbar aus den Sätzen 45 und 50.

§ 35. Das Produkt $\textstyle \mathbf {\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)}$ für irgendwelche zu 2 prime Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir sind nunmehr imstande, einen Satz zu beweisen, der eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes 36 darstellt.

Satz 52. Wenn $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$ sind, so ist stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

wo das Produkt über sämtliche Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir wenden die in Satz 40 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen $z$ ganze Zahlen $\mu _{1}$, $\mu _{2}$, …, $\mu _{z}$ in $k$, so daß die Kongruenzen

$\left.{\begin{aligned}\mu _{1}&\equiv \mu ,\,\mu _{2}\equiv 1,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv 1,\;\left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}}\right),\\\mu _{1}&\equiv 1,\,\mu _{2}\equiv \mu ,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv 1,\;\left({\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}}\right),\\&\quad \vdots \\\mu _{1}&\equiv 1,\,\mu _{2}\equiv 1,\,\ldots ,\mu _{z}\equiv \mu ,\;\left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}}\right)\end{aligned}}\right\}$

(1)

gelten; dann genügt offenbar das Produkt dieser $z$ Zahlen der Kongruenz

$\mu _{1}\mu _{2}\cdots \mu _{z}\equiv \mu ,\qquad (2^{2})$.

(2)

Die Definition 17 liefert mit Rücksicht auf die Kongruenzen (1) die Gleichungen

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{{\mathfrak {l}}_{i}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{i}}{\mathfrak {w}}}\right),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,z)$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 465. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/482&oldid=- (Version vom 9.9.2019)