wo die Produkte
über alle zu
primen Primideale
in
zu erstrecken sind; nach der Definition 17 ist das Produkt linker Hand gleich
. Da nun nach Definition 6 sämtliche Faktoren des Produktes rechter Hand den Wert
haben, so folgt
, womit der Satz 49 vollständig bewiesen ist. Die beiden Sätze 48 und 49 zusammengenommen ergeben das folgende Resultat:
Satz 50. (Hilfssatz.) Wenn
irgendein in
aufgehendes Primideal und ferner
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
bedeuten, dann gilt stets die Gleichung
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.
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§ 34. Die Eigenschaften des Symbols für
für irgendwelche zu
prime ganze Zahlen
,
.
Mit Hilfe des Satzes 50 können wir die wichtige Tatsache beweisen, daß die in Satz 14 aufgestellten Formeln auch für jedes in
aufgehende Primideal
gültig sind. Wir sprechen den Satz aus:
Satz 51. Wenn
,
,
,
,
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
sind, so gelten in bezug auf jedes in
aufgehende Primideal
des Körpers
die Formeln
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Beweis. Es mögen
und
die Bedeutung wie in Definition 17 haben. Um die erste Formel des Satzes 51 zu beweisen, bestimmen wir zwei ganze Zahlen
,
in
von der Art, daß
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wird. Nach Satz 47 ist dann
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und folglich wegen Satz 50 auch
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(1)
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