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In allen drei soeben behandelten Fällen ist mithin nach Definition 6 gewiß

.

Wir hatten nun zu Beginn des Beweises und sodann als ganze Zahlen in derart bestimmt, daß sie Quadraten ganzer Zahlen in nach kongruent ausfielen. Da ferner nach ist, so folgt nach Satz 47

;

damit ist der Satz 48 vollständig bewiesen.

Satz 49. (Hilfssatz.) Es sei ein in aufgehendes Primideal und ferner seien , beliebige zu prime ganze Zahlen in : wenn dann ausfällt, so ist auch stets .

Beweis. Wir wenden die am Anfang des Beweises zu Satz 48 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen eine ganze Zahl , welche den Kongruenzen

genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in ist; dann haben wir wegen Satz 47

infolgedessen gibt es gewisse ganze Zahlen , …, im Körper derart, daß

ausfällt. Wenn wir daher eine ganze Zahl in bestimmen, die zugleich den Kongruenzen

genügt, so wird auch

und vermöge des Satzes 36 schließen wir hieraus leicht