Es sei nun
irgendein Ideal in
und
die Relativnorm von
; wir setzen ferner
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet: fällt dann
aus, so bezeichnen wir denjenigen Komplex des Körpers
, zu welchem
gehört, als einen Komplex des Hauptgeschlechtes in
. Wir können leicht beweisen, daß nicht sämtliche Komplexe in
Komplexe des Hauptgeschlechtes sind. Es sei nämlich
ein Primideal
in
, für welches
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und
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ausfällt. Wegen der ersteren Gleichung ist
in
weiter zerlegbar; es bedeute
einen Primfaktor von
in
. Wird
gesetzt, wo
eine ganze Zahl in
darstellt, so erhalten wir nach Satz 37
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,
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und diese Gleichung zeigt, daß der durch
bestimmte Komplex in
nicht ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist.
Wir bezeichnen nun mit
die Anzahl derjenigen Komplexe in
, welche Quadrate von Komplexen in
sind, und mit
die Anzahl aller Komplexe des Hauptgeschlechtes in
; dann erkennen wir genau wie im Beweise zu Satz 25 die Richtigkeit der Gleichung
.
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(4)
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Aus dieser Gleichung folgt wegen
die Ungleichung
. Da ferner jedes Quadrat eines Komplexes notwendig ein Komplex des Hauptgeschlechtes sein muß, so ist auch
und mithin haben wir
, d. h. jeder Komplex des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat eines Komplexes. Aus
folgt ferner wegen (4) zugleich
und
; mit Rücksicht auf Satz 23 entnehmen wir hieraus
, d. h. jede Einheit des Körpers
ist gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
.
Um nun zu zeigen, daß
gleich der Relativnorm einer Zahl in
ist, bedenken wir, daß wegen (1) das Primideal
in
weiter zerlegbar ist; die Gleichung (3) zeigt sodann, daß jedes in
enthaltene Primideal
des Körpers
einem Komplex des Hauptgeschlechtes angehört, und da nach dem vorhin Bewiesenen jeder solche Komplex gleich dem Quadrat eines Komplexes ist, so genügt das Ideal
einer Gleichung von der Gestalt
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,
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wobei
ein Ideal in
,
eine Zahl in
und
ein Ideal in
bedeutet. Bilden wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm und erheben sie dann in die
-te Potenz, so entsteht eine Gleichung von der Gestalt
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,
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