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und folglich bei Benutzung der Formeln des Satzes 45

und

.

Somit erhalten wir schließlich

und infolge der Voraussetzung des Satzes 48 ist daher

. (2)

Da und folglich auch die Zahl dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent ist, so nimmt mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gleichung (2) die Gestalt

an, und hieraus schließen wir wegen (1), daß notwendig

(3)

ausfallen muß.

Wir betrachten jetzt den Körper und werden beweisen, daß stets gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers ist, deren Nenner prim zu ausfällt. Zu dem Zwecke unterscheiden wir folgende drei Fälle:

Erstens nehmen wir an, es sei das Primideal primär und eine Primärzahl von . Die Relativdiskriminante des Körpers enthält dann nur den einen Primfaktor , und wir können in diesem Falle genau wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 47 zeigen, daß die Relativnorm einer Zahl des Körpers ist, deren Nenner zu prim ausfällt.

Nehmen wir zweitens an, es sei ein primäres Primideal; dagegen sei nicht eine Primärzahl von , sondern es sei vielmehr , wobei eine Primärzahl von und eine Einheit in bedeutet, welche nicht gleich dem Quadrat einer Einheit in ausfällt. Die Relativdiskriminante des Körpers enthält, da dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ist, wegen Satz 4 lediglich die beiden Primideale und . Setzen wir in Satz 23 ein, so folgt aus demselben wegen die Ungleichung , d. h. die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers ist höchstens gleich .