und da
zu
prim ist, so erweist sich mithin
als Normenrest des Körpers
nach
.
Wir haben also bewiesen, daß allemal, wenn
ist, auch
sein muß. Da nun aus denselben Gründen umgekehrt aus
, wenn
nicht das Quadrat einer Zahl in
ist, allemal auch
gefolgert werden kann, so ist damit die Richtigkeit des Satzes 47 für den Fall gezeigt, daß keine der beiden Zahlen
,
das Quadrat einer Zahl in
ist.
Nehmen wir an, es sei eine jener beiden Zahlen, etwa die Zahl
, dagegen nicht
das Quadrat einer ganzen Zahl in
, so ist nach Definition 6
, und die Voraussetzung des zu beweisenden Satzes 47 fordert dann, daß
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
sein muß; wir wollen im folgenden den Nachweis dafür führen, daß in diesem Falle auch stets
ausfällt.
Zu dem Zwecke bezeichnen wir wie in Satz 40 mit
,
, …,
die sämtlichen voneinander verschiedenen in
aufgehenden Primideale, und es möge ferner allgemein
genau zur
-ten Potenz in
aufgehen, so daß
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wird; wir nehmen
und setzen
. Sodann bestimmen wir eine ganze Zahl
in
, welche den Kongruenzen
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(5)
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genügt und, nachdem dies geschehen, ein Primideal
in
, für welches die Gleichungen
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(6)
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gelten; hierbei sollen
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da wegen (6)
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wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das