und bestimmen wir sodann
aus der Kongruenz
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,
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so ist
eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit; damit haben wir den Beweis für den Satz 46 erbracht.
Satz 47. (Hilfssatz.) Es sei
ein Primfaktor von
in
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf: wenn dann
,
,
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
sind, derart, daß die Brüche
und
den Quadraten gewisser ganzen Zahlen in
nach
kongruent ausfallen, so ist stets
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.
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Beweis. Wir nehmen an, es sei
nicht das Quadrat einer Zahl in
und
im Körper
Normenrest nach
; wir verstehen dann unter
irgendeinen Exponenten und unter
eine solche ganze Zahl in
, daß
nach
wird. Da
und mithin auch
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ist, so muß nach Satz 46 auch für jeden beliebigen Exponenten
eine ganze Zahl
in
existieren, deren Quadrat dem Bruche
kongruent nach
ausfällt; wir haben somit
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(1)
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d. h.
ist im Körper
Normenrest nach
.
Wir setzen nun
;
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(2)
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hierin seien
,
,
gewisse ganze Zahlen in
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf. Wegen der über
gemachten Voraussetzung können wir nach Satz 46 eine Zahl
finden, so daß
, d.h.
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(3)
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ausfällt. Aus (1), (2), (3) erhalten wir dann
.
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(4)
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Stellt nun
irgendeine zu
prime und durch
teilbare Zahl in
dar, so ist
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gewiß eine ganze Zahl in
, da offenbar Summe und Produkt dieser Zahl
und ihrer relativkonjugierten Zahl
ganze Zahlen in
sind. Bei Benutzung von (4) folgt
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