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und bestimmen wir sodann aus der Kongruenz

,

so ist eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit; damit haben wir den Beweis für den Satz 46 erbracht.

Satz 47. (Hilfssatz.) Es sei ein Primfaktor von in und es gehe in genau zur -ten Potenz auf: wenn dann , , , irgendwelche zu prime ganze Zahlen in sind, derart, daß die Brüche und den Quadraten gewisser ganzen Zahlen in nach kongruent ausfallen, so ist stets

.

Beweis. Wir nehmen an, es sei nicht das Quadrat einer Zahl in und im Körper Normenrest nach ; wir verstehen dann unter irgendeinen Exponenten und unter eine solche ganze Zahl in , daß nach wird. Da und mithin auch dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach kongruent ist, so muß nach Satz 46 auch für jeden beliebigen Exponenten eine ganze Zahl in existieren, deren Quadrat dem Bruche kongruent nach ausfällt; wir haben somit

(1)

d. h. ist im Körper Normenrest nach .

Wir setzen nun

; (2)

hierin seien , , gewisse ganze Zahlen in und es gehe in genau zur -ten Potenz auf. Wegen der über gemachten Voraussetzung können wir nach Satz 46 eine Zahl finden, so daß

,   d.h.   (3)

ausfällt. Aus (1), (2), (3) erhalten wir dann

. (4)

Stellt nun irgendeine zu prime und durch teilbare Zahl in dar, so ist

gewiß eine ganze Zahl in , da offenbar Summe und Produkt dieser Zahl und ihrer relativkonjugierten Zahl ganze Zahlen in sind. Bei Benutzung von (4) folgt