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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

§ 32. Das Symbol $\mathbf {\textstyle } \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ für irgendwelche zu $\mathbf {2}$ primen Zahlen $\mathbf {\nu }$, $\mathbf {\mu }$.

Wir sind nunmehr imstande, diejenigen Sätze aufzustellen und zu beweisen, welche den Sätzen 14, 15 entsprechen, wenn man für ${\mathfrak {w}}$ ein in $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$ nimmt. Um dieses Ziel zu erreichen, führen wir ein neues Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ ein; dieses Symbol dient uns jedoch nur zum vorübergehenden Gebrauch, da dasselbe sich später als gleichbedeutend mit dem Symbol $\textstyle \left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {l}}}\right)$ herausstellen wird.

Definition 17. Es seien $\nu$, $\mu$ irgendwelche zu $2$ prime ganze Zahlen in $k$; ferner sei ${\mathfrak {l}}$ ein in der Zahl $2$ aufgehendes Primideal des Körpers $k$, und wir setzen $2={\mathfrak {l}}^{l}{\mathfrak {L}}$, wo $l$ einen positiven Potenzexponenten und ${\mathfrak {L}}$ ein zu ${\mathfrak {l}}$ primes Ideal des Körpers $k$ bedeutet: dann werde das neue Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch die Gleichung

$\left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)$

definiert; hierin ist $\prod \left.\right.^{'}$ über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ zu erstrecken, und $\mu ^{*}$ soll eine solche zu $2$ prime ganze Zahl in $k$ bedeuten, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu ^{*}&\equiv \mu ,&({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\mu ^{*}&\equiv \alpha ^{2},&({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügt, wo $\alpha$ irgendeine zu ${\mathfrak {L}}$ prime ganze Zahl in $k$ sein soll.

In der Tat ist das Symbol $\textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)$ durch diese Festsetzung eindeutig bestimmt.

Ist nämlich $\mu _{0}^{*}$ eine ganze Zahl in $k$, welche den Kongruenzen

${\begin{aligned}\mu _{0}^{*}&\equiv \mu ,&({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\mu _{0}^{*}&\equiv \alpha _{0}^{2},&({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügt, wobei $\alpha _{0}$ irgendeine zu ${\mathfrak {L}}$ prime und von $\alpha$ verschiedene ganze Zahl in $k$ darstellt, so bestimme man zwei ganze Zahlen $\xi$, $\xi _{0}$ in $k$, die den Kongruenzen

${\begin{aligned}\xi \xi _{0}\mu \equiv 1,\,\,\,\,\,\,\quad &({\mathfrak {l}}^{2l}),\\\left.{\begin{aligned}\xi \alpha &\equiv 1,\\\xi _{0}\alpha _{0}&\equiv 1,\end{aligned}}\right\}\quad &({\mathfrak {L}}^{2})\end{aligned}}$

genügen: dann erfüllt die Zahl $\zeta =\xi ^{2}\xi _{0}^{2}\mu ^{*}\mu _{0}^{*}$ die Kongruenz $\zeta \equiv 1$ nach $2^{2}$, und folglich erhalten wir nach Satz 36

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\zeta }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}\mu _{0}^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1;$

mithin ist

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu ^{*}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu _{0}^{*}}{\mathfrak {w}}}\right),$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 453. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/470&oldid=- (Version vom 9.9.2019)