Nun gibt es für den Modul
genau
|
|
zu
prime und untereinander inkongruente Zahlen und mithin bilden die ganzen Zahlen in (2) ein volles Restsystem der genannten Art nach
; dies ist die Aussage des Satzes 42.
§ 31. Eine Eigenschaft gewisser besonderer Ideale des Körpers
.
Wir setzen nunmehr die in § 23 und in § 26 angestellten Untersuchungen über primäre Ideale des Körpers
fort und gelangen zu folgenden Sätzen:
Satz 43. Es sei
ein beliebiges zu
primes Ideal in
von solcher Beschaffenheit, daß die Gleichungen
|
|
gelten: dann ist es stets möglich, in
eine ganze Zahl
zu finden, so daß das Ideal
gleich
wird, und überdies die Zahl
nach dem Modul
dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent wird; hierbei haben
, …,
,
, …,
,
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42.
Beweis. Es sei
irgendeine ganze Zahl in
, so daß
wird. Bezeichnen ferner
, …,
,
, …,
,
, …,
,
, …,
dieselben Ideale bez. ganzen Zahlen des Körpers
wie in Satz 42, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu
prime Zahl nach dem Modul
in der Gestalt darstellbar, wie im Satze 42 angegeben worden ist; wir dürfen also insbesondere
|
(1)
|
setzen, wo
eine geeignete Einheit in
,
, …,
,
, …,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Da hiernach die Zahl
|
|
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt, so erhalten wir nach Satz 40 die Gleichungen
|
(2)
|