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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}$ teilbar wird usf.; endlich bilden wir ein System von $\textstyle {\frac {L_{z}}{2}}$ ganzen, zu ${\mathfrak {l}}_{z}$ primen Zahlen

$\alpha _{z}^{(1)},\,\ldots ,\,\alpha _{z}^{\left({\frac {L_{z}}{2}}\right)}$,

die sämtlich kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z-1}^{l_{z-1}+1}$ sind und die Eigenschaft haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ teilbar wird.

Der Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}$,

(2)

$\left({\begin{aligned}u_{1},\,\ldots ,\,u_{\frac {m}{2}},\,v_{1},\,\ldots ,\,v_{\frac {m}{2}};&\quad w_{1},\,\ldots ,\,w_{z}=0,\,1,\\i_{1}=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{1}}{2}},\,\ldots ,&\quad i_{z}=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{z}}{2}}\end{aligned}}\right)$

stellt ein System von $2^{m}L_{1}\ldots L_{z}$ ganzen Zahlen in $k$ dar; diese sind sämtlich zu $2$ prim und nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ einander inkongruent. In der Tat wären zwei Zahlen von der Gestalt (2) einander nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent, wäre etwa

$\left.{\begin{aligned}&\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\pi _{1}^{w_{1}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}\\\equiv &\varepsilon _{1}^{u_{1}^{'}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}^{'}}\varkappa _{1}^{v_{1}^{'}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}^{'}}\pi _{1}^{w_{1}^{'}}\cdots \pi _{z}^{w_{z}^{'}}\left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\\&\qquad \qquad \qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right),\end{aligned}}\right\}$

(3)

so würde, da die Zahlen $\alpha _{1}^{(i)}$, …, $\alpha _{z}^{(i)}$ sämtlich zu $2$ prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ bez. mit den Exponenten $u_{1}^{'}$, …, $u_{\frac {m}{2}}^{'}$, $v_{1}^{'}$, …, $v_{\frac {m}{2}}^{'}$, $w_{1}^{'}$, …, $w_{z}^{'}$ übereinstimmen und es wäre mithin

$\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}\equiv \left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2}\cdots \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right).$

Aus dieser Kongruenz entnehmen wir der Reihe nach die $z$ Kongruenzen

${\begin{aligned}\left(\alpha _{1}^{(i_{1})}\right)^{2}&\equiv \left(\alpha _{1}^{\left(i_{1}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\right),\\&\vdots \\\left(\alpha _{z}^{(i_{z})}\right)^{2}&\equiv \left(\alpha _{z}^{\left(i_{z}^{'}\right)}\right)^{2},\qquad \left({\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}\right).\end{aligned}}$

Aus der ersten Kongruenz folgt leicht, daß entweder $\alpha _{1}^{(i_{1})}-\alpha _{1}^{(i_{1}^{'})}$ oder $\alpha _{1}^{(i_{1})}+\alpha _{1}^{(i_{1}^{'})}$ durch ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ teilbar sein muß, und deswegen ist notwendigerweise $i_{1}=i_{1}^{'}$. Ebenso schließen wir $i_{2}=i_{2}^{'}$, …, $i_{z}=i_{z}^{'}$, d. h. die beiden Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Kongruenz (3) waren nicht voneinander verschieden.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 450. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/467&oldid=- (Version vom 9.9.2019)