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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

der sämtlichen Charaktere ist für jedes Geschlecht gleich $+1$. Da $\mu$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent sein soll, so zerfällt inbesondere das Primideal ${\mathfrak {l}}_{1}$ im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren sind offenbar

$\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right),\,\ldots ,\,\left({\frac {\lambda _{1},\,\mu }{{\mathfrak {p}}_{t}}}\right)$

und da das Produkt derselben gleich $+1$ sein soll, so würden wir

$\left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}_{1}}}\right)\cdots \left({\frac {\lambda _{1}}{{\mathfrak {p}}_{t}}}\right)=+1$

erhalten. Diese Folgerung widerspricht den Voraussetzungen, die wir im Satze 42 über die Primideale ${\mathfrak {p}}_{1}$, …, ${\mathfrak {p}}_{z}$ getroffen haben, und demnach ist unsere zu Anfang dieses Beweises gemachte Annahme zu verwerfen, d. h. irgendein Ausdruck von der Gestalt (1) kann nur dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ sein, wenn sämtliche Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, …, $v_{\frac {m}{2}}$, $w_{1}$, …, $w_{z}$ gleich $0$ sind.

Wir setzen nun zur Abkürzung

$L_{1}=n({\mathfrak {l}}_{1})^{l_{1}}(n({\mathfrak {l}}_{1})-1)$

und verstehen unter

$\alpha _{1}^{(1)},\,\ldots ,\,\alpha _{1}^{(L_{1})}$

ein volles System von ganzen zu ${\mathfrak {l}}_{1}$ primen und nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ einander inkongruenten Zahlen in $k$, die überdies sämtlich kongruent $1$ nach dem Modul ${\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{l_{3}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ sein sollen. Da allgemein

$\alpha _{1}^{(i)}\not \equiv -\alpha _{1}^{(i)},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,L_{1})$

ist, so können wir annehmen, es sei etwa stets

$-\alpha _{1}^{(i)}\equiv \alpha _{1}^{\left({\frac {L_{1}}{2}}+i\right)},\qquad ({\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}),\qquad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,{\frac {L_{1}}{2}}).$

Die $\textstyle {\frac {L_{1}}{2}}$ Zahlen $\alpha _{1}^{(1)}$, …, $\alpha _{1}^{\left({\frac {L_{1}}{2}}\right)}$ haben dann offenbar die Eigenschaft, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}$ teilbar wird. Ferner setzen wir zur Abkürzung

${\begin{aligned}L_{2}&=n({\mathfrak {l}}_{2})^{l_{2}}(n({\mathfrak {l}}_{2})-1),\\&\quad \vdots \\L_{z}&=n({\mathfrak {l}}_{z})^{l_{z}}(n({\mathfrak {l}}_{z})-1)\end{aligned}}$

und bilden in der entsprechenden Weise wie oben zunächst das System von $\textstyle {\frac {L_{2}}{2}}$ ganzen, zu ${\mathfrak {l}}_{2}$ primen Zahlen

$\alpha _{2}^{(1)}$, …, $\alpha _{2}^{\left({\frac {L_{2}}{2}}\right)}$,

die sämtlich kongruent $1$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{3}^{l_{3}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}+1}$ sind und die Eigenschaft

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 449. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/466&oldid=- (Version vom 9.9.2019)