Satz 42. Es mögen , …, , , …, , , …, die Bedeutung wie in Satz 29 haben; ferner werde
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gesetzt, wo , …, die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl in und , …, die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl aufgehen. Es werde
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, …,
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gesetzt, wo , …, gewisse ganze Zahlen in sind; endlich seien , …, solche primäre Primideale, daß allemal
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ausfällt, und es seien , …, bez. Primärzahlen der primären Primideale , …, : dann gilt für jede beliebige zu prime ganze Zahl in eine Kongruenz von der Gestalt
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wo die Exponenten , …, , , …, , , …, gewisse Werte , haben und eine geeignete ganze Zahl in bedeutet.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe Exponenten , …, , , …, , , …, gewisse Werte , haben, aber nicht sämtlich gleich sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
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(1)
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dem Quadrat einer gewissen ganzen Zahl in nach kongruent werde. Die Zahl bestimmt dann offenbar einen relativquadratischen Körper , und zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers prim zu . Aus dem Beweise zu Satz 29 schließen wir, daß die Exponenten , …, , , …, im Ausdruck (1) sämtlich gleich sind. Die Relativdiskriminante von besitzt demnach mit Rücksicht auf Satz 4 keines der Primideale , …, , , …, als Faktor, sondern enthält lediglich diejenigen unter den Primidealen , …, , für welche in (1) bez. die Exponenten , …, gleich ausfallen; es seien dies etwa die Primideale , …, . Infolge unserer Annahme ist dann notwendig .
Wir dürfen nunmehr Satz 41 anwenden, da derselbe in § 29 für den hier zutreffenden Fall bewiesen worden ist. Nach diesem Satze gibt es, da hier ausfällt, im Körper genau Geschlechter und das Produkt