Satz 42. Es mögen
, …,
,
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 29 haben; ferner werde
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gesetzt, wo
, …,
die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl
in
und
, …,
die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl
aufgehen. Es werde
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, …,
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gesetzt, wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
sind; endlich seien
, …,
solche primäre Primideale, daß allemal
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ausfällt, und es seien
, …,
bez. Primärzahlen der primären Primideale
, …,
: dann gilt für jede beliebige zu
prime ganze Zahl
in
eine Kongruenz von der Gestalt
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wo die Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe
Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben, aber nicht sämtlich gleich
sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
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(1)
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dem Quadrat einer gewissen ganzen Zahl in
nach
kongruent werde. Die Zahl
bestimmt dann offenbar einen relativquadratischen Körper
, und zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers
prim zu
. Aus dem Beweise zu Satz 29 schließen wir, daß die Exponenten
, …,
,
, …,
im Ausdruck (1) sämtlich gleich
sind. Die Relativdiskriminante von
besitzt demnach mit Rücksicht auf Satz 4 keines der Primideale
, …,
,
, …,
als Faktor, sondern enthält lediglich diejenigen unter den Primidealen
, …,
, für welche in (1) bez. die Exponenten
, …,
gleich
ausfallen; es seien dies etwa die
Primideale
, …,
. Infolge unserer Annahme ist dann notwendig
.
Wir dürfen nunmehr Satz 41 anwenden, da derselbe in § 29 für den hier zutreffenden Fall bewiesen worden ist. Nach diesem Satze gibt es, da hier
ausfällt, im Körper
genau
Geschlechter und das Produkt