Beweis. Es seien
, …,
die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale des Körpers
und man setze
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, …, ,
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wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
bedeuten. Es ist offenbar
,
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(1)
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wo
eine Einheit und
eine gewisse ganze Zahl in
bedeutet. Ferner wähle man nach der Vorschrift des § 17 von diesen
Primidealen gewisse
aus; es seien dies etwa die Primideale
, …,
. Endlich mögen
, …,
beliebige
Einheiten
bedeuten, die der Bedingung
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(2)
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genügen. Wegen Satz 18 gibt es in
gewiß ein primäres Primideal
, für welches
, …, , , …,
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(3)
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ausfällt. Es sei
eine Primärzahl von
; dann ist nach Satz 37
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, .
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Wegen (1), (2), (3) haben wir
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,
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d.h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Ein jeder derselben hat wegen
|
, …,
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im Körper
die Charaktere
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, …, .
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Es lassen sich nun die Einheiten
, …,
offenbar auf
Weisen so bestimmen, daß die Bedingung
erfüllt ist. Nach dem eben Bewiesenen gehört zu jedem solchen Systeme von
Einheiten wirklich ein Geschlecht in
, und da die Anzahl
der Geschlechter von
nach Satz 26 auch nicht größer sein kann als
, so ist der Satz 41 hiermit für den Fall bewiesen, daß die Relativdiskriminante des Körpers
zu
prim ausfällt. Den allgemeinen Nachweis des Satzes 41 werden wir erst in § 41 führen.
§ 30. Ein gewisses System von
zu
primen Primidealen des Körpers
.
Wir leiten jetzt einen Satz ab, der im folgenden Paragraphen gebraucht werden wird und der eine Erweiterung des Satzes 29 ist. Dieser Satz lautet: