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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Beweis. Es seien ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ die $t$ in der Relativdiskriminante von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ aufgehenden Primideale des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ und man setze

${\mathfrak {d}}_{1}^{h}=(\delta _{1})$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}^{h}=(\delta _{t})$,

wo $\delta _{1}$, …, $\delta _{t}$ gewisse ganze Zahlen in $k$ bedeuten. Es ist offenbar

$\delta _{1}\cdots \delta _{t}=\varepsilon \alpha ^{2}\mu$,

(1)

wo $\varepsilon$ eine Einheit und $\alpha$ eine gewisse ganze Zahl in $k$ bedeutet. Ferner wähle man nach der Vorschrift des § 17 von diesen $t$ Primidealen gewisse $r=t-r^{*}$ aus; es seien dies etwa die Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{r}$. Endlich mögen $c_{1}$, …, $c_{r}$ beliebige $r$ Einheiten $\pm 1$ bedeuten, die der Bedingung

$c_{1}\cdots c_{r}=+1$

(2)

genügen. Wegen Satz 18 gibt es in $k$ gewiß ein primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$, für welches

$\left({\frac {\delta _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1}$, …,$\left({\frac {\delta _{r}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{r}$ , $\left({\frac {\delta _{r+1}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$

(3)

ausfällt. Es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$; dann ist nach Satz 37

$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\delta _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)$,  $(i=1,\,2,\,\ldots ,\,t)$.

Wegen (1), (2), (3) haben wir

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon \alpha ^{2}\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d.h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Ein jeder derselben hat wegen

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=+1$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$

im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ die Charaktere

$\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)=c_{r}$.

Es lassen sich nun die Einheiten $c_{1}$, …, $c_{r}$ offenbar auf $2^{r-1}$ Weisen so bestimmen, daß die Bedingung $c_{1}\ldots c_{r}=+1$ erfüllt ist. Nach dem eben Bewiesenen gehört zu jedem solchen Systeme von $r$ Einheiten wirklich ein Geschlecht in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, und da die Anzahl $g$ der Geschlechter von $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ nach Satz 26 auch nicht größer sein kann als $2^{r-1}$, so ist der Satz 41 hiermit für den Fall bewiesen, daß die Relativdiskriminante des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ zu $2$ prim ausfällt. Den allgemeinen Nachweis des Satzes 41 werden wir erst in § 41 führen.

§ 30. Ein gewisses System von $\mathbf {\textstyle } {\frac {m}{2}}+z$ zu $\mathbf {2}$ primen Primidealen des Körpers $\mathbf {k}$.

Wir leiten jetzt einen Satz ab, der im folgenden Paragraphen gebraucht werden wird und der eine Erweiterung des Satzes 29 ist. Dieser Satz lautet:

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 447. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/464&oldid=- (Version vom 9.9.2019)