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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Die Zahl $3$ ist Primzahl in $k(\vartheta )$ und wegen $-3\equiv 1^{2}$ nach $2^{2}$ ist das Ideal $(3)$ nach Satz 33 ein primäres Primideal. In der Tat haben wir

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{3}}\right)&=(-1)^{\frac {3^{6}-1}{2}}=+1,\\\eta &\equiv (\eta -\eta ^{2})^{2},\qquad \,\,\,\,(3),\\-2+\eta ^{2}&\equiv (1+\eta -\eta ^{2})^{2},\quad (3).\end{aligned}}$

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Die angeführten Beispiele lassen erkennen, welche reiche Mannigfaltigkeit an arithmetischen Wahrheiten insbesondere in den Sätzen 32, 33, 38, 39 enthalten ist – und doch bilden diese Sätze nur Bestandteile des ersten Ergänzungssatzes zu dem später von mir zu entwickelnden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Der vollständige erste Ergänzungssatz wird erst im Satz 53 (§ 36) zum Ausdruck kommen. Endlich erinnern wir daran, daß wir des leichteren Verständnisses wegen in dem zweiten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung durchweg über den Grundkörper $k$ die auf Seite 27 angegebenen besonderen Annahmen gemacht haben; wir müssen es uns daher auch an dieser Stelle versagen, mitzuteilen, wie der erste Ergänzungssatz lautet und wie tief derselbe das Wesen des Begriffes der Idealklasse berührt, falls der zugrunde gelegte Körper $k$ eine gerade Klassenanzahl aufweist.

§ 28. Das Produkt $\textstyle \mathbf {\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)}$ für ein beliebiges $\mathbf {\nu }$ und bei gewissen Annahmen über $\mathbf {\mu }$.

Für die späteren Entwicklungen ist es erforderlich, den Satz 36 in folgender Weise zu erweitern:

Satz 40. Es seien ${\mathfrak {l}}_{1}$, ${\mathfrak {l}}_{2}$, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ die sämtlichen von einander verschiedenen Primfaktoren der Zahl $2$ und es gehe ${\mathfrak {l}}_{1}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{1}$-ten, ${\mathfrak {l}}_{2}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{2}$-ten, …, ${\mathfrak {l}}_{z}$ genau zur ${\mathfrak {l}}_{z}$-ten Potenz in $2$ auf, so daß

$2={\mathfrak {l}}_{1}^{l_{1}}{\mathfrak {l}}_{2}^{l_{2}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{l_{z}}$

wird; wenn dann $\nu$ eine beliebige ganze Zahl und $\mu$ eine solche ganze Zahl in $k$ bedeutet, die zu $2$ prim ist und dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach ${\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}{\mathfrak {l}}_{2}^{2l_{2}+1}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}$ kongruent ist, so fällt stets

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\nu ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

aus, wo das Produkt über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt werden soll.

Beweis. Wir setzen

$\nu ={\mathfrak {n}}{\mathfrak {l}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {l}}_{z}^{e_{z}}$,

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 445. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/462&oldid=- (Version vom 9.9.2019)