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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Modul $2^{2}$ die Kongruenzen

${\begin{aligned}3+4\vartheta ^{2}&\equiv -1,\qquad \qquad (2^{2}),\\1+5\vartheta ^{2}&\equiv -{\frac {\vartheta ^{4}}{1+\vartheta }},\qquad (2^{2}),\end{aligned}}$

so daß

$-3-4\vartheta ^{2}$ und $-(1+\vartheta )(1+5\vartheta ^{2})=-1-\vartheta -5\vartheta ^{2}-5\vartheta ^{3}$

Primärzahlen der betreffenden beiden Primideale werden.

Aus den Gleichungen (11), (12) entnehmen wir leicht die Gleichungen

${\begin{aligned}\left({\frac {-1}{(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {-1}{(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )}}\right)=+1,\\\left({\frac {1+\vartheta }{(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {1+\vartheta }{(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )}}\right)=+1.\end{aligned}}$

Die Zahlen $(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})$ und $(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )$ müssen daher dem Satze 38 zufolge dem Produkte einer Einheit in das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k(\vartheta )$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent ausfallen; in der Tat gelten die Kongruenzen:

${\begin{aligned}(1+2\vartheta ^{2})(2-\vartheta ^{2})&\equiv 2\vartheta +\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}\equiv (1+\vartheta )(1+\vartheta ^{4})^{2}&,\quad (2^{2}),\\(3+2\vartheta +\vartheta ^{2})(3+\vartheta )&\equiv -\vartheta ^{4}&,\quad (2^{2}).\end{aligned}}$

Beispiel 6. Der durch eine Wurzel $\vartheta$ der Gleichung

$\vartheta ^{4}+\vartheta +1=0$

bestimmte Körper ist ein biquadratischer Körper ohne quadratischen Unterkörper; er hat die Klassenanzahl $h=1$ und besitzt $4$ Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten $+1$, $-1$, $\vartheta$, $-\vartheta$ bestimmt sind.

Für die Zahlen $3$, $5$ gelten in $k(\vartheta )$ die Zerlegungen

${\begin{aligned}3&=(1-\vartheta )(2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}),\\5&=(1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})(2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}-\vartheta ^{3}),\end{aligned}}$

worin beidemal der erste Faktor auf der rechten Seite eine Primzahl ersten Grades und der zweite Faktor eine Primzahl dritten Grades ist. Mit Hilfe des Satzes 1 erhalten wir darnach leicht

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {-1}{1-\vartheta }}\right)=&-1,\qquad \left({\frac {-1}{2+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {3^{3}-1}{2}}=-1,\\\left({\frac {-1}{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=&+1,\quad \left({\frac {-1}{2-4\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {5^{3}-1}{2}}=+1.\end{aligned}}\right\}$

(13)

Andererseits findet man aus den Kongruenzen

$\vartheta \equiv 1,\quad (1-\vartheta )$ und $\vartheta \equiv -2,\quad (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})$

die Gleichungen

$\left({\frac {\vartheta }{1-\vartheta }}\right)=+1,\quad \left({\frac {\vartheta }{1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)=-1.$

(14)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 442. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/459&oldid=- (Version vom 9.9.2019)