Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/459

Fertig. Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle korrekturgelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.

Modul die Kongruenzen

so daß

und

Primärzahlen der betreffenden beiden Primideale werden.

Aus den Gleichungen (11), (12) entnehmen wir leicht die Gleichungen

Die Zahlen und müssen daher dem Satze 38 zufolge dem Produkte einer Einheit in das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers nach dem Modul kongruent ausfallen; in der Tat gelten die Kongruenzen:

Beispiel 6. Der durch eine Wurzel der Gleichung

bestimmte Körper ist ein biquadratischer Körper ohne quadratischen Unterkörper; er hat die Klassenanzahl und besitzt Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten , , , bestimmt sind.

Für die Zahlen , gelten in die Zerlegungen

worin beidemal der erste Faktor auf der rechten Seite eine Primzahl ersten Grades und der zweite Faktor eine Primzahl dritten Grades ist. Mit Hilfe des Satzes 1 erhalten wir darnach leicht

(13)

Andererseits findet man aus den Kongruenzen

und

die Gleichungen

(14)