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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und daher gelten für $\varepsilon$ bez. nach jenen Primzahlen die Kongruenzen

${\begin{aligned}\varepsilon \equiv 1,\qquad \varepsilon &\equiv -1,\qquad \varepsilon \equiv 3,\\\varepsilon &\equiv \,\,\,\,\,4,\qquad \varepsilon \equiv -18.\end{aligned}}$

Da nun im Bereiche der rationalen Zahlen $1$ quadratischer Best nach $3$, $-1$ Nichtrest nach $3$, $3$ Nichtrest nach $19$, $4$ Rest nach $59$ und $-18$ Rest nach $73$ ist, so haben wir im Körper $k(\vartheta )$ die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}\left({\frac {\varepsilon }{1-\vartheta }}\right)=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta }}\right)=-&1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=-1,\\\left({\frac {\varepsilon }{1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3}}}\right)&=+1,\qquad \left({\frac {\varepsilon }{1+2\vartheta -\vartheta ^{2}}}\right)=+1.\end{aligned}}\right\}$

(9)

Wegen (8), (9) ist von den fünf Primzahlen in (7) nur die letzte primär, und in der Tat gilt in Bestätigung des Satzes 32 nach dem Modul $2^{2}$ die Kongruenz

$-(1+2\vartheta -\vartheta ^{2})\equiv (1+\vartheta +\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\qquad (2^{2}),$

so daß $-1-2\vartheta +\vartheta ^{2}$ eine Primärzahl des Primideals $(1+2\vartheta -\vartheta ^{2})$ wird.

Die Zahlen

$1-2\vartheta +2\vartheta ^{2},\qquad 1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}$

sind Primzahlen zweiten Grades in $k(\vartheta )$ mit den Normen bez.

$7^{2}$, $31^{2}$.

Zunächst ergibt sich

$\left({\frac {-1}{1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}}}\right)=(-1)^{\frac {7^{2}-1}{2}}=+1.$

Ferner finden wir mit Benutzung der Kongruenz

$\vartheta ^{2}\equiv \vartheta +3,\qquad (1-2\vartheta +2\vartheta ^{2})$

leicht, daß $\varepsilon$ quadratischer Nichtrest nach $1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}$ ist, d. h. wir haben

$\left({\frac {\varepsilon }{1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}}}\right)=-1,$

und die Primzahl $1-2\vartheta +2\vartheta ^{2}$ ist mithin nichtprimär. Dagegen gilt die Kongruenz

$-1+4\vartheta ^{2}-2\vartheta ^{3}\equiv (1+\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})^{2},\qquad (2^{2}).$

Nach Satz 33 muß mithin $(1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})$ ein primäres Primideal sein. In der Tat haben wir

$\left({\frac {-1}{1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}}}\right)=(-1)^{\frac {31^{2}-1}{2}}=+1$

und überdies gilt die Kongruenz

$\varepsilon \equiv (3-2\vartheta )^{2},\quad (1-4\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3}).$

Endlich sind wegen (8), (9) die Ideale

$\left((1+\vartheta )(1+\vartheta -2\vartheta ^{2}+2\vartheta ^{3})\right),\quad \left((1-\vartheta )(1+\vartheta +2\vartheta ^{2}+\vartheta ^{3})\right)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 440. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/457&oldid=- (Version vom 9.9.2019)