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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

genannt werden, in bezug auf die jene Gleichung nicht für jede Einheit $\xi$ erfüllt ist.

Auf Grund des Satzes 36 gelingt es nun, den Satz 32 in folgender Weise zu verallgemeinern:

Satz 38. Es sei ${\mathfrak {a}}$ ein beliebiges primäres Ideal in $k$: dann ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\alpha$ zu finden, so daß das Ideal ($\alpha$) gleich ${\mathfrak {a}}^{h}$ wird, und überdies die Zahl $\alpha$ nach dem Modul $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers $k$ kongruent ausfällt.

Beweis. Es sei $\alpha ^{*}$ irgendeine ganze Zahl in $k$, so daß $(\alpha ^{*})={\mathfrak {a}}^{h}$ wird. Bezeichnen ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, …, ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, $\varkappa _{1}$, …, $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ die $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Ideale bez. ganze Zahlen, wie in Satz 29, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu $2$ prime Zahl nach dem Modul $2^{2}$ in einer gewissen Gestalt (vgl. S. 414) darstellbar; wir dürfen danach insbesondere

$\alpha ^{*}\equiv \varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}\beta ^{2},\qquad (2^{2})$

(1)

setzen, wo $\varepsilon ^{*}$ eine geeignete Einheit in $k$, ferner $\nu _{1}$, …, $\nu _{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\beta$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Da wegen (1) die Zahl

$\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}$

kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ ausfällt, so ist nach dem Satze 36 für jede Einheit $\xi$ in $k$

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\xi ,\,\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}}{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und folglich

$\left({\frac {\xi }{\alpha ^{*}\varkappa _{1}^{\nu _{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{\nu _{\frac {m}{2}}}}}\right)=\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{\nu _{1}}\cdots \left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{\nu _{\frac {m}{2}}}=+1$;

da nach Voraussetzung $\left({\frac {\xi }{\mathfrak {a}}}\right)=+1$ sein soll, so entnehmen wir hieraus, daß für jede Einheit $\xi$ in $k$ die Gleichung

$\left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{1}}}\right)^{\nu _{1}}\cdots \left({\frac {\xi }{{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}}}\right)^{\nu _{\frac {m}{2}}}=+1$

bestehen muß. Indem wir hierin der Reihe nach für $\xi$ die in § 21 aufgestellten Einheiten $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ einsetzen, schließen wir aus den Formeln S. 413, daß die Exponenten $\nu _{1}$, …, $\nu _{\frac {m}{2}}$ sämtlich gleich $0$ sind, und daher ist wegen (1) $\alpha =\alpha ^{*}\varepsilon ^{*}$ eine ganze Zahl in $k$ von der im Satze 38 verlangten Beschaffenheit.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 435. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/452&oldid=- (Version vom 9.9.2019)