als Faktoren. Wir betrachten den Körper
, wenden für ihn die Bezeichnungen wie im vorigen Falle an und entnehmen aus der Behandlung dieses dritten Falles die Tatsache, daß das Produkt der
Charaktere eines Geschlechtes in
gleich
sein muß. Es sei zunächst
; dann zerfällt
im Körper
in zwei Primfaktoren. Die
Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren von
sind, wenn
eine geeignete Einheit in
bedeutet, und im übrigen die Bezeichnungsweise, die im dritten Falle benutzt wurde, beibehalten wird:
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(21)
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während überdies die Gleichungen
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(22)
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gelten. Durch Multiplikation dieser Gleichungen (21), (22) folgt leicht
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und vermöge der im dritten Falle bewiesenen Relation (20) schließen wir hieraus
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(23)
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Fällt andererseits
aus, so bestimmen wir ein primäres Primideal
von der Art, daß
ausfällt. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so erhalten wir wegen (7)
, und folglich wird
. Nach der eben bewiesenen Formel (23) folgt mithin, wenn wir jetzt
an Stelle von
nehmen,
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und hieraus wiederum mit Hinzuziehung von (11)
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(24)
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damit ist der Satz 36 auch unter der vierten Annahme bewiesen.
Wir beweisen endlich den Satz 36 allgemein. Zu dem Zwecke setzen wir
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wo
eine Einheit in
und
,
, …, sei es Primärzahlen von primären Primidealen, sei es solche ganze Zahlen in
bedeuten, die
-te Potenzen von nichtprimären Primidealen darstellen. Dann entnehmen wir aus (20), (11), (24) die