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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

als Faktoren. Wir betrachten den Körper $K({\sqrt {\mu }})$, wenden für ihn die Bezeichnungen wie im vorigen Falle an und entnehmen aus der Behandlung dieses dritten Falles die Tatsache, daß das Produkt der $r$ Charaktere eines Geschlechtes in $K({\sqrt {\mu }})$ gleich $+1$ sein muß. Es sei zunächst $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$; dann zerfällt ${\mathfrak {q}}$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in zwei Primfaktoren. Die $r$ Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren von ${\mathfrak {q}}$ sind, wenn $\xi$ eine geeignete Einheit in $k$ bedeutet, und im übrigen die Bezeichnungsweise, die im dritten Falle benutzt wurde, beibehalten wird:

$\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{2}}}\right),\ldots ,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right),$

(21)

während überdies die Gleichungen

$\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+1}}}\right)=+1,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r+2}}}\right)=+1,\ldots ,\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$

(22)

gelten. Durch Multiplikation dieser Gleichungen (21), (22) folgt leicht

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\xi \varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und vermöge der im dritten Falle bewiesenen Relation (20) schließen wir hieraus

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1.$

(23)

Fällt andererseits $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$ aus, so bestimmen wir ein primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Art, daß $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so erhalten wir wegen (7) $\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$, und folglich wird $\left({\frac {\pi \mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$. Nach der eben bewiesenen Formel (23) folgt mithin, wenn wir jetzt $\pi \mu$ an Stelle von $\mu$ nehmen,

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\pi \mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

und hieraus wiederum mit Hinzuziehung von (11)

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{\prime }\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1;$

(24)

damit ist der Satz 36 auch unter der vierten Annahme bewiesen.

Wir beweisen endlich den Satz 36 allgemein. Zu dem Zwecke setzen wir

$\nu ^{h}=\varepsilon \varrho _{1}\varrho _{2}\ldots ,$

wo $\varepsilon$ eine Einheit in $k$ und $\varrho _{1}$, $\varrho _{1}$, …, sei es Primärzahlen von primären Primidealen, sei es solche ganze Zahlen in $k$ bedeuten, die $h$-te Potenzen von nichtprimären Primidealen darstellen. Dann entnehmen wir aus (20), (11), (24) die

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 433. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/450&oldid=- (Version vom 9.9.2019)