Da die Anzahl der Systeme von je
Einheiten
mit der Bedingung
gleich
ist und andererseits nach Satz 26 im Körper
nicht mehr als
Geschlechter existieren können, so schließen wir, wie in unserem ersten Falle, daß das Charakterensystem
eines jeden in
vorhandenen Geschlechtes notwendig die Bedingung
erfüllen muß.
Um aus dieser Tatsache im gegenwärtigen dritten Falle den Satz 36 zu beweisen, sei
ein Primideal, welches den Bedingungen
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(16)
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(17)
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(18)
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genügt. Wegen der Gleichung (16) zerfällt
im Körper
in zwei Primfaktoren und wegen der Gleichungen (17) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Wegen (18) erhalten wir unter Benutzung des Satzes 35 bez. der Relation (7) die Gleichungen
,
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(19)
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und daher haben die
Charaktere eines Primfaktors von
folgende Werte
.
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Nun muß nach dem vorhin Bewiesenen das Produkt dieser Charaktere gleich
sein; dies liefert mit Rücksicht auf (16) und (19) die Beziehung
,
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und da wegen der an zweiter Stelle bewiesenen Tatsache
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sein muß, so folgt auch die Gleichung
,
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(20)
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womit der Satz 36 unter den an dritter Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt ist. Das Produkt
ist hier wie auch im folgenden stets über alle zu
primen Primideale
des Körpers
zu erstrecken.
Wir machen viertens die Annahme, daß
die
-te Potenz eines nichtprimären Primideals
sei, und setzen
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; die Zahl
enthalte jedoch beliebig viele primäre oder nicht primäre Primideale