und diese lehrt die Richtigkeit des Satzes 36 für den an zweiter Stelle behandelten Fall.
Wir nehmen drittens an, es sei
gleich einer Einheit
in
, während
beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Wir betrachten den Relativkörper
. Bedeuten, wie in unserem ersten Falle,
diejenigen unter den Primfaktoren von
, die in
zu einer ungeraden Potenz aufgehen, und sind
solche ganze Zahlen in
, daß
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wird, so finden wir eine Gleichung von der Gestalt
,
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(12)
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wo
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bezeichnet. Nach Satz 4 sind
die in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale. Wir bezeichnen mit
die Anzahl der Charaktere, die das Geschlecht einer Klasse in
bestimmen, und es seien unter den Primidealen
die Primideale
,
nach der in Definition 11 gemachten Vorschrift ausgewählt. Dann beweisen wir folgende Tatsache: wenn
irgend
Einheiten
sind, deren Produkt
ausfällt, so gibt es im Körper
stets Ideale, deren Charaktere mit
übereinstimmen. In der Tat nach Satz 18 gibt es in
sicher ein Primideal
, welches den Gleichungen
,
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(13)
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(14)
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genügt. Wegen (13) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Vermöge des Satzes 35 bez. der Relation (7) folgen aus (14) die Gleichungen
.
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(15)
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Da
sein soll, so erhalten wir aus (14)
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und folglich ist wegen (12)
,
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d. h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (15) mit
überein.