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nehmen, so geht aus derselben die Gleichung

hervor. Es ist aber

und folglich

; (5)

damit ist die Behauptung des Satzes 36 unter den an erster Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt.

Wenden wir die Formel (5) insbesondere auf den Fall an, daß eine Primärzahl eines primären Primideals ist, so erhalten wir die Gleichung

; (6)

es ist folglich stets

. (7)

Wir behandeln zweitens den Fall, daß eine Primärzahl eines primären Primideals sei, während die Zahl beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Setzen wir ..., wo , , ... Primideale sind, und bezeichnen , , ... ganze Zahlen in , so daß

ausfällt, so wird

,

wobei eine Einheit in sein muß. Bei Anwendung der dritten Formel des Satzes 14 erhalten wir

. (8)

Andererseits ist mit Rücksicht auf Satz 13

. (9)

Ferner gelten die Gleichungen

, (10)

wie wir für ein primäres aus Satz 35 und für ein nichtprimäres aus Formel (6) schließen. Nunmehr führt die Gleichung (8) in Verbindung mit (9) und (10) zu der Gleichung

, (11)
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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 430. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/447&oldid=- (Version vom 23.2.2020)