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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

nehmen, so geht aus derselben die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu \,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$

hervor. Es ist aber

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

und folglich

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$;

(5)

damit ist die Behauptung des Satzes 36 unter den an erster Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt.

Wenden wir die Formel (5) insbesondere auf den Fall an, daß $\mu$ eine Primärzahl $\pi$ eines primären Primideals ${\mathfrak {p}}$ ist, so erhalten wir die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\pi }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$;

(6)

es ist folglich stets

$\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)$.

(7)

Wir behandeln zweitens den Fall, daß $\nu$ eine Primärzahl $\pi$ eines primären Primideals ${\mathfrak {p}}$ sei, während die Zahl $\mu$ beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Setzen wir $(\mu )={\mathfrak {r}}_{1}{\mathfrak {r}}_{2}$ ..., wo ${\mathfrak {r}}_{1}$, ${\mathfrak {r}}_{2}$, ... Primideale sind, und bezeichnen $\varrho _{1}$, $\varrho _{2}$, ... ganze Zahlen in $k$, so daß

$(\varrho _{1})={\mathfrak {r}}_{1}^{h},\qquad (\varrho _{2})={\mathfrak {r}}_{1}^{h},\dotsc$

ausfällt, so wird

$\mu ^{h}=\eta \varrho _{1}\varrho _{2}\dotsc$,

wobei $\eta$ eine Einheit in $k$ sein muß. Bei Anwendung der dritten Formel des Satzes 14 erhalten wir

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu ^{h}}{\mathfrak {w}}}\right)=\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\eta }{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{1}}{\mathfrak {w}}}\right)\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{2}}{\mathfrak {w}}}\right)\cdots$.

(8)

Andererseits ist mit Rücksicht auf Satz 13

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\eta }{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\eta }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$.

(9)

Ferner gelten die Gleichungen

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\varrho _{i}}{\mathfrak {w}}}\right)=\left({\frac {\varrho _{i}}{\mathfrak {p}}}\right)\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {r}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i=1,2,\dotsc )$,

(10)

wie wir für ein primäres ${\mathfrak {r}}_{i}$ aus Satz 35 und für ein nichtprimäres ${\mathfrak {r}}_{i}$ aus Formel (6) schließen. Nunmehr führt die Gleichung (8) in Verbindung mit (9) und (10) zu der Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\pi ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1$,

(11)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 430. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/447&oldid=- (Version vom 23.2.2020)