Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/446

	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Beschaffenheit. Wegen (2) ist ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal; es sei $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$. Nach Satz 35 folgen aus den Gleichungen (3) die Gleichungen

(4)	$\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=c_{1}$, …, $\left({\frac {\pi }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=c_{t}$.

Wenn wir die Gleichungen (3) miteinander multiplizieren, erhalten wir wegen (1) und wegen $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ die Gleichung

$\left({\frac {\delta _{1}\cdots \delta _{t}}{\mathfrak {p}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$,

d. h. ${\mathfrak {p}}$ zerfällt im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (4) mit $c_{1}$, …, $c_{t}$ überein. Die Anzahl der möglichen Systeme von Einheiten $c_{1}$, …, $c_{t}$ mit der Bedingung $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ ist offenbar $2^{t-1}$; es existieren daher wirklich so viele Geschlechter, und da es nach dem vorhin Bewiesenen eine größere Anzahl von Geschlechtern nicht geben kann, so erkennen wir hieraus die Tatsache, daß das Charakterensystem $c_{1}$, …, $c_{t}$ eines jeden Geschlechts im Körper $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ notwendig die Bedingung $c_{1}\ldots c_{t}=+1$ erfüllen muß.

Um aus dieser Tatsache unter den an erster Stelle gemachten Annahmen den Satz 36 abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es sei $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$. Dann zerfällt ${\mathfrak {q}}$ in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in zwei Primfactoren; das Charakterensystem eines jeden dieser Primfaktoren ist

$\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right)$, …, $\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=\left({\frac {\varkappa }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$.

Da das Produkt dieser Charaktere nach dem vorhin Bewiesenen gleich $+1$ sein soll, so folgt wegen

$\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$

notwendig die Gleichung

$\prod \limits _{({\mathfrak {w}})}\left.\right.^{'}\left({\frac {\varkappa ,\,\mu }{\mathfrak {w}}}\right)=+1,$

wenn das Produkt über alle zu $2$ primen Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird; diese Gleichung zeigt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung.

Ist dagegen $\left({\frac {\mu }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$, so bestimme man ein von den Primidealen ${\mathfrak {d}}_{1}$, …, ${\mathfrak {d}}_{t}$ verschiedenes primäres Primideal ${\mathfrak {p}}$ von der Art, daß $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ ausfällt; nach Satz 18 ist dies stets möglich. Bezeichnet $\pi$ eine Primärzahl von ${\mathfrak {p}}$, so muß notwendig auch $\left({\frac {\pi }{\mathfrak {q}}}\right)=-1$ ausfallen, weil im entgegengesetzten Falle aus Satz 34 $\left({\frac {\varkappa }{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ folgen würde. Nunmehr ist $\left({\frac {\mu \pi }{\mathfrak {q}}}\right)=+1$, und wenn wir daher in der voranstehenden Betrachtung an Stelle von $\mu$ jetzt $\mu \pi$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 429. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/446&oldid=- (Version vom 9.9.2019)