§ 25. Das Produkt
für ein zu
primes
und bei gewissen Annahmen über
.
Wir sind jetzt imstande, einen weiteren wichtigen Bestandteil des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper
abzuleiten.
Satz 36. Wenn
,
zu
prime ganze Zahlen in
sind und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent wird, so ist stets
|
,
|
wo das Produkt über sämtliche zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt werden soll.
Beweis. Wir nehmen erstens
gleich einer Zahl
des Körpers
an, die von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal
die
-te Potenz eines nichtprimären Primideals
in
wird; die Zahl
dagegen sei ein Produkt von lauter Potenzen primärer Primideale. Bedeuten
, ...,
diejenigen unter diesen Primfaktoren von
, die in
zu einer ungeraden Potenz aufgehen, so finden wir, wenn bez.
, ...,
Primärzahlen von
, ...,
bezeichnen, bei Anwendung des Satzes 28 leicht die Gleichung
,
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(1)
|
wo
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Wir betrachten den Körper
; nach Satz 4 sind
, ...,
die in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale. Da diese
Primideale sämtlich primär sein sollen und mithin für jede Einheit
stets
|
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ausfällt, so ist
die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper
bestimmen; es gibt daher nach Satz 26 in
höchstens
Geschlechter.
Wir weisen nun nach, daß im Körper
wirklich
Geschlechter vorhanden sind. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit
, ...,
irgend
solche Einheiten
, deren Produkt gleich
ist, und bestimmen dann ein Primideal
in
, welches den Bedingungen
,
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(2)
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(3)
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genügt, wobei
, ...,
das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in
bedeuten soll; nach Satz 18 gibt es sicher Primideale
von der verlangten