nehmen also an, die Anzahl
derjenigen unter den Exponenten
, ...,
, welche gleich
ausfallen, sei größer als
.
Setzen wir
,
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so besitzt nach Satz 5 der relativquadratische Körper
eine zu
prime Relativdiskriminante. Für diesen Fall ist der Satz 26 von uns bereits bewiesen worden. Indem wir die in Definition 11 gebrauchten Bezeichnungen beibehalten, haben wir offenbar
,
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und nach dem Satze 26 ist folglich die Anzahl
der Geschlechter des Körpers
höchstens gleich
und also gleich
, d. h. alle Idealklassen des Körpers
sind vom Hauptgeschlecht.
Aus der eben bewiesenen Tatsache ziehen wir folgende Schlüsse: es sei
irgendein zu
primes Primideal in
mit der Eigenschaft
,
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so daß
nach Satz 7 in
in das Produkt zweier Primideale
,
zerfällt. Soll nun
zum Hauptgeschlechte gehören, so muß das Charakterensystem dieses Primideals im Körper
aus lauter Einheiten
bestehen; es muß also das Charakterensystem einer Zahl
, wobei
eine geeignete Einheit in
und
eine ganze Zahl in
mit der Eigenschaft
bedeutet, aus lauter Einheiten
bestehen. Wir bilden insbesondere den Charakter der Zahl
in bezug auf das in der Relativdiskriminante von
aufgehende Primideal
und erhalten dadurch
,
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und wenn wir berücksichtigen, daß
ein primäres Primideal ist, so wird
,
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d. h. jedes Primideal
, für welches
ausfällt, besitzt auch die Eigenschaft
.
Wir bestimmen nun an Stelle der Primideale
, ...,
irgend
andere Primideale
, ...,
mit den entsprechenden Eigenschaften
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