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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

wenn das Produkt $\textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}$ über alle Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird und folglich erhalten wir

$\log \sum _{({\mathfrak {j}})}\left({\frac {\mathfrak {j}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {j}})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}+f(s),\qquad (s>1)$,

(13)

wobei die Summe $\textstyle \sum \limits _{({\mathfrak {w}})}$ ebenfalls über alle Primideale ${\mathfrak {w}}$ des Körpers $k$ zu erstrecken ist und wo $f(s)$ eine Größe darstellt, die für $s=1$ gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Da (12) für $s=1$ gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert, so muß notwendig (13) für $s=1$ entweder ebenfalls gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren oder negativ über alle Grenzen wachsen; in beiden Fällen ersehen wir mithin die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes 31.

§ 23. Eine Eigenschaft primärer Primideale.

Durch die beiden Sätze 29 und 31 gelangen wir zu folgendem wichtigen Satze über primäre Primideale:

Satz 32. Wenn ${\mathfrak {p}}$ ein primäres Primideal ist, so ist es stets möglich, in $k$ eine ganze Zahl $\pi$ zu finden, so daß das Ideal $(\pi )$ gleich ${\mathfrak {p}}^{h}$ wird und überdies die Zahl $\pi$ nach dem Modul $2^{2}$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\pi \equiv \alpha ^{2},\quad (2^{2})$

erfüllt, wo $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl des Körpers $k$ ist.

Beweis. Es sei $\varepsilon _{1}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in $k$; es seien ferner ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$, wie in Satz 29, solche zu $2$ prime Primideale des Körpers $k$, für welche allemal

$\left({\frac {\varepsilon _{i}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=-1,\quad \left({\frac {\varepsilon _{k}}{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1,\quad (i\neq k),\qquad \left(i,k=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}\right)$

ausfällt. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 18. Wir setzen dann

${\mathfrak {p}}^{h}=(\pi ^{\ast }),{\mathfrak {q}}_{1}^{h}=(\varkappa _{1}),\dotsc ,{\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}^{h}=(\varkappa _{\frac {m}{2}})$,

so daß $\pi ^{\ast }$, $\varkappa _{1}$, ..., $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten. Wenden wir nun den Satz 29 insbesondere auf die ganze Zahl $\pi ^{\ast }$ an, so ergibt sich, daß $\pi ^{\ast }$ einer Kongruenz von der Gestalt

$\pi ^{\ast }\equiv \varepsilon \varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha ^{2},\quad (2^{2})$

(1)

genügt, wo $\varepsilon$ eine geeignete Einheit in $k$, ferner $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ bedeutet. Hätten in diesem Ausdrucke (1) rechter Hand die Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich den Wert $0$, so wäre bereits $\pi =\pi ^{\ast }\varepsilon$ eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt. Wir

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 423. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/440&oldid=- (Version vom 23.2.2020)