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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Nach der nämlichen Methode erhalten wir für die Anzahl $G(t)$ aller durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$ des Körpers $k$, deren Normen die reelle positive Zahl $t$ nicht überschreiten und für welche $\textstyle \left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ wird,

$G(t)={\frac {1}{w}}{\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+{\frac {1}{w}}(N+N'+N''+\dotsc )t^{1-{\frac {1}{m}}}$,

(6)

wo $N$, $N'$, $N''$, ... wiederum von $t$ abhängige Größen bedeuten, die für unendlich wachsende $t$ stets zwischen endlichen Grenzen bleiben. Durch Subtraktion der beiden Formeln (5), (6) ergibt sich

$\Phi (t)=F(t)-G(t)=Dt^{1-{\frac {1}{m}}}$,

(7)

wo $D$ ebenfalls eine von $t$ abhängige Größe bezeichnet, die für unendlich wachsende $t$ zwischen endlichen Grenzen bleibt.

Wir haben offenbar

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}}=\sum _{({\mathfrak {h}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(+)})^{s}}}-\sum _{({\mathfrak {h}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(-)})^{s}}},\qquad (s>1)$,

wenn die Summe linker Hand über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}$ des Körpers $k$ erstreckt wird, während auf der rechten Seite die erste Summe über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}^{(+)}$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {h}}^{(+)}}{\mathfrak {p}}}\right)=+1$ und die zweite Summe über alle zu ${\mathfrak {p}}$ primen und durch ${\mathfrak {a}}$ teilbaren Hauptideale ${\mathfrak {h}}^{(-)}$ mit der Eigenschaft $\textstyle \left({\frac {{\mathfrak {h}}^{(-)}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1$ genommen wird. Andererseits ist mit Rücksicht auf die Bedeutung der Anzahlen $F(t),G(t)$

${\begin{aligned}\sum _{({\mathfrak {h}}^{(+)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(+)})^{s}}}=&\sum _{(t)}{\frac {F(t)-F(t-1)}{t^{s}}},&&(s>1),\\\sum _{({\mathfrak {h}}^{(-)})}{\frac {1}{n({\mathfrak {h}}^{(-)})^{s}}}=&\sum _{(t)}{\frac {G(t)-G(t-1)}{t^{s}}},&&(s>1)\end{aligned}}$,

und folglich wird

$\sum _{({\mathfrak {h}})}\left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {h}})^{s}}}=\sum _{(t)}{\frac {\Phi (t)-\Phi (t-1)}{t^{s}}},\qquad (s>1)$,

(8)

wo die Summen rechter Hand stets über $t=1$, $2$, $3$, ... zu erstrecken sind und $F(0)$, $G(0)$, $\Phi (0)$ gleich Null zu setzen sind. Nun haben wir

$\sum _{(t)}{\frac {\Phi (t)-\Phi (t-1)}{t^{s}}}=\sum _{(t)}\Phi (t)\left({\frac {1}{t^{s}}}-{\frac {1}{(t+1)^{s}}}\right)$,

und da für $t>0$, $s>1$

${\frac {1}{t^{s}}}-{\frac {1}{(t+1)^{s}}}={\frac {1}{t^{s}}}\left\{1-\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{-s}\right\}$,

$\left(1+{\frac {1}{t}}\right)^{-s}=1-{\frac {s\vartheta }{t}},\qquad (0<\vartheta <1)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 421. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/438&oldid=- (Version vom 23.2.2020)