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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

endliche Anzahl analytischer Flächen begrenzt. Die Gleichungen dieser Flächen enthalten noch einen Parameter $\tau$, und da ihre linken Seiten für $\tau =0$ im fraglichen Gebiete sich regulär verhalten, so sind alle Voraussetzungen des Satzes 30 erfüllt. Wir bezeichnen mit $J$ den Inhalt dieses Raumteiles für $\tau =0$, d. h. den Inhalt desjenigen Raumteiles, der durch die Ungleichungen

$n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)})\leqq 1$,

$0\leqq e_{1}<1$,

$\vdots$

$0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1$

charakterisiert ist, wo jetzt die Größen $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ aus den Gleichungen

${\begin{aligned}e_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)=&2\log |x_{1}\varkappa _{1}^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa _{1}^{(m)}|\\-&{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}),\\&\vdots \\e_{1}l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})+\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)=&2\log |x_{1}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(m)}|\\-&{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)})\end{aligned}}$

als Funktionen von $x_{1}$, ..., $x_{m}$ zu bestimmen sind.

Nach Satz 30 ist die Anzahl $T$ derjenigen Punkte mit den Koordinaten

$x_{1}=u_{1}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$,

die in den durch (3) definierten Teil des $x_{1}\dotsc x_{m}$-Raumes fallen, durch die Formel

$T={\frac {J}{\tau ^{m}}}+{\frac {M}{\tau ^{m-1}}}=Jt+Mt^{1-{\frac {1}{m}}}$

dargestellt, wo $M$ eine von $t$ abhängige Größe bedeutet, die für unendlich wachsende $t$ stets zwischen endlichen Grenzen bleibt. Ebenso folgt

${\begin{aligned}T'=&Jt+M't^{1-{\frac {1}{m}}},\\T''=&Jt+M''t^{1-{\frac {1}{m}}},\\\vdots \end{aligned}}$

wo $M'$, $M''$, ... ebenfalls von $t$ abhängige und für unendlich wachsende $t$ zwischen endlichen Grenzen bleibende Größen bedeuten. Durch Addition aller solchen $\textstyle {\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}$ Formeln erhalten wir

$T+T'+T''+\cdots ={\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+(M+M'+M''+\cdots )t^{1-{\frac {1}{m}}}$;

und folglich ist

$F(t)={\frac {1}{w}}{\frac {n({\mathfrak {p}})-1}{2}}Jt+{\frac {1}{w}}(M+M'+M''+\cdots )t^{1-{\frac {1}{m}}}$.

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Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 420. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/437&oldid=- (Version vom 23.2.2020)