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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

erfüllt sind, vermehrt um die entsprechenden Anzahlen $T'$, $T''$, ..., wo allgemein $T^{(s)}$ die Anzahl der verschiedenen rationalen ganzzahligen Wertsysteme $u_{1}$, ..., $u_{m}$ bedeutet, für welche die Ungleichungen

${\begin{aligned}n(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})\leqq &t,\\0\leqq e_{1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})<&1,\\\vdots &\\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}(u_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +u_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho ^{(s)})<&1\end{aligned}}$

erfüllt sind; es ist also

$wF(t)=T+T'+T''+\cdots$.

Um zunächst die Anzahl $T$ abzuschätzen, setzen wir in den Ungleichungen (2)

$u_{1}={\frac {x_{1}}{\tau }},\dotsc ,u_{m}={\frac {x_{m}}{\tau }},\tau =t^{-{\frac {1}{m}}}$

ein; dieselben gehen dadurch in die folgenden Ungleichungen über:

$\left.{\begin{aligned}n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau )\leqq 1,\\0\leqq e_{1}<1,\\\vdots \\0\leqq e_{{\frac {m}{2}}-1}<1,\end{aligned}}\right\}$

(3)

wo die Größen $e_{1}$, ..., $e_{{\frac {m}{2}}-1}$ durch die Gleichungen

$\left.{\begin{aligned}&&e_{1}l_{1}(\varepsilon _{1})+&\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\\&=&2\log |x_{1}\varkappa _{1}^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa _{1}^{(m)}+\varrho _{1}\tau |\\&&-{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau ),\\&&\vdots \\&&e_{1}l_{{\frac {m}{2}}-1}(\varepsilon _{1})+&\cdots +e_{{\frac {m}{2}}-1}l_{{\frac {m}{2}}-1}\left(\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}\right)\\&=&2\log |x_{1}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(m)}+\varrho _{{\frac {m}{2}}-1}\tau |\\&&-{\frac {2}{m}}\log n(x_{1}\varkappa ^{(1)}+&\cdots +x_{m}\varkappa ^{(m)}+\varrho \tau )\end{aligned}}\right\}$

(4)

als Funktionen von $x_{1}$, ..., $x_{m}$, $\tau$ zu bestimmen sind; hierin bedeuten $\varkappa _{1}^{(i)}$, ..., $\varkappa _{{\frac {m}{2}}-1}^{(i)}$, $\varrho _{1}$, ..., $\varrho _{{\frac {m}{2}}-1}$ die zu $\varkappa ^{(i)}$, $\varrho$ konjugierten und bez. in den Körpern $k_{1}$, ..., $k_{{\frac {m}{2}}-1}$ gelegenen Zahlen. Die Anzahl $T$ ist mithin gleich der Anzahl aller Punkte mit den Koordinaten

$x_{1}=u_{1}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$,

die in den durch die Ungleichungen (3) charakterisierten Teil des $x_{1}\dotsc x_{m}$-Raumes fallen. Dieser Raumteil liegt ganz im Endlichen und wird durch eine

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 419. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/436&oldid=- (Version vom 23.2.2020)