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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Die nämliche Betrachtung gilt für jedes in $2$ aufgehende Primideal und daher erhalten wir

$\alpha _{i}\equiv \alpha _{i'}$,   $(2)$

und schließen hieraus

$\alpha _{i}=\alpha _{i'}$,

d. h. die beiden ganzen Zahlen des Systems (2) waren nicht voneinander verschieden. Bezeichnen wir die verschiedenen in $2$ aufgehenden Primideale des Körpers $k$ mit ${\mathfrak {l}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {l}}_{z}$, so haben wir^[1]

${\begin{aligned}\varphi (2)&=&2^{m}&\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{1})}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{z})}}\right),\\\varphi (2^{2})&=&2^{2m}&\left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{1})}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{n({\mathfrak {l}}_{z})}}\right);\end{aligned}}$

es ist somit $2^{m}\varphi (2)=\varphi (2^{2})$ und die Zahlen von der Gestalt (2), deren Anzahl $\varphi (2^{2})$ ist, bilden folglich ein volles System von Resten nach dem Modul $2^{2}$, die zu $2$ prim sind; dies ist die Aussage des Satzes 29.

§ 22. Die unendliche Reihe $\mathbf {\sum _{({\mathfrak {w}})}\left({\frac {\mathfrak {w}}{\mathfrak {p}}}\right){\frac {1}{n({\mathfrak {w}})^{s}}}}$.

Ehe wir näher die Natur der primären Primideale ergründen, entwickeln wir einige Sätze, die sich an die Überlegungen in § 13 anschließen.

Satz 30. (Hilfssatz.) Die reellen Veränderlichen $x_{1}$, ..., $x_{m}$ mögen als rechtwinklige Koordinaten eines $m$-dimensionalen Raumes betrachtet werden und es sei in diesem Raume eine endliche Anzahl von $(m-1)$-dimensionalen Flächenscharen durch Gleichungen von der Gestalt

$f_{1}(x_{1},\dotsc ,x_{m},\tau )=0,\quad f_{2}(x_{1},\dotsc ,x_{m},\tau )=0,\dotsc$

gegeben, wo $f_{1}$, $f_{2}$, ... analytische Funktionen der Argumente $x_{1}$, ..., $x_{m}$, $\tau$ bedeuten, die in der Umgebung des Parameterwertes $\tau =0$ sich regulär verhalten; diese Flächen mögen, wenn wir dem Parameter $\tau$ einen festen positiven Wert oder den Wert $0$ erteilen, einen bestimmten ganz im Endlichen gelegenen Teil $R_{\tau }$ des $m$-dimensionalen Raumes abgrenzen. Nunmehr wählen wir für den Parameter $\tau$ einen positiven Wert und fixieren in dem $m$-dimensionalen Raume alle Punkte, deren Koordinaten von der Form

$x_{1}=u_{1}\tau ,x_{2}=u_{2}\tau ,\dotsc ,x_{m}=u_{m}\tau$

sind, wo $u_{1}$, $u_{2}$, ..., $u_{m}$ sämtliche ganze rationale Zahlen durchlaufen: dann wird die Anzahl $T$ aller derjenigen solchen Punkte, die in jenem Raume $R_{\tau }$ liegen, durch die Formel

$T={\frac {J}{\tau ^{m}}}+{\frac {M}{\tau ^{m-1}}}$

dargestellt, wo $J$ den Inhalt des für $\tau =0$ sich ergebenden Raumes $R_{0}$ und $M$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 416. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/433&oldid=- (Version vom 23.2.2020)

1. Vgl. „Algebraische Zahlkörper“ Satz 23 (dieser Band Abh. 7 S. 82).