ausfällt, so folgt notwendig
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, , ..., ,
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d. h. die Einheit
muß ein Produkt aus gewissen von den
Einheiten
,
, ...,
in das Quadrat einer Einheit des Körpers
sein. Die sämtlichen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten in
sind, machen also höchstens
Verbände in
aus; somit würde unter Anwendung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungsweise
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oder
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sein müssen, was der Bemerkung am Schluß von § 15 widerspricht. Unsere vorhin versuchte Annahme ist also unzutreffend, d. h. es ist keine Zahl
von der Gestalt (1) nach
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
kongruent, es sei denn, daß die Exponenten
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, ..., , , ...,
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sämtlich gleich
sind.
Wir verstehen nun unter
,
, ...,
ein volles System von
ganzen nach dem Modul
einander inkongruenten und zu
primen Zahlen in
. Dann stellt der Ausdruck
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(2)
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ein System von
Zahlen dar, welche untereinander nach
inkongruent sind. In der Tat, wären zwei von diesen
Zahlen (2) nach
kongruent, wäre etwa
, ,
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so würde, da
,
zu
prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten
, ...,
,
, ...,
sämtlich bez. mit den Exponenten
, ...,
,
, ...,
übereinstimmen, und es wäre mithin
, .
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(3)
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Betrachten wir jetzt ein in der Zahl
als Faktor enthaltenes Primideal
und nehmen an, es gehe dasselbe in
genau zur
-ten Potenz auf, so folgt aus (3)
, ;
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es ist mithin entweder
oder
durch
teilbar, und da offenbar
,[WS 1]
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ist, so folgt in jedem Falle
, .
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Anmerkungen (Wikisource)
- ↑ Vorlage:
(ohne ')