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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

ausfällt, so folgt notwendig

$e_{1}=0$, $e_{2}=0$, ..., $e_{t}=0$,

d. h. die Einheit $\varepsilon$ muß ein Produkt aus gewissen von den $\textstyle {\frac {m}{2}}-t$ Einheiten $\varepsilon _{t+1}$, $\varepsilon _{t+2}$, ..., $\varepsilon _{\frac {m}{2}}$ in das Quadrat einer Einheit des Körpers $k$ sein. Die sämtlichen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten in $K({\sqrt {\mu }})$ sind, machen also höchstens $2^{{\frac {m}{2}}-t}$ Verbände in $k$ aus; somit würde unter Anwendung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungsweise

$v^{\ast }\leqq {\frac {m}{2}}-t$   oder   $t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}\leqq 0$

sein müssen, was der Bemerkung am Schluß von § 15 widerspricht. Unsere vorhin versuchte Annahme ist also unzutreffend, d. h. es ist keine Zahl $\mu$ von der Gestalt (1) nach $2^{2}$ dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ kongruent, es sei denn, daß die Exponenten

$u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$,   $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$

sämtlich gleich $0$ sind.

Wir verstehen nun unter $\alpha _{1}$, $\alpha _{2}$, ..., $\alpha _{\varphi (2)}$ ein volles System von $\varphi (2)$ ganzen nach dem Modul $2$ einander inkongruenten und zu $2$ primen Zahlen in $k$. Dann stellt der Ausdruck

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i}^{2}$

(2)

$\left(u_{1},\dotsc ,u_{\frac {m}{2}},v_{1},\dotsc ,v_{\frac {m}{2}}=0,1;\quad i=1,2,3,\dotsc ,\varphi (2)\right)$

ein System von $2^{m}\varphi (2)$ Zahlen dar, welche untereinander nach $2^{2}$ inkongruent sind. In der Tat, wären zwei von diesen $2^{m}\varphi (2)$ Zahlen (2) nach $2^{2}$ kongruent, wäre etwa

$\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i}^{2}\equiv \varepsilon _{1}^{u'_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u'_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v'_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v'_{\frac {m}{2}}}\alpha _{i'}^{2}$,   $(2^{2})$,

so würde, da $\alpha _{i}$, $\alpha _{i'}$ zu $2$ prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ sämtlich bez. mit den Exponenten $u'_{1}$, ..., $u'_{\frac {m}{2}}$, $v'_{1}$, ..., $v'_{\frac {m}{2}}$ übereinstimmen, und es wäre mithin

$\alpha _{i}^{2}\equiv \alpha _{i'}^{2}$,   $(2^{2})$.

(3)

Betrachten wir jetzt ein in der Zahl $2$ als Faktor enthaltenes Primideal ${\mathfrak {l}}$ und nehmen an, es gehe dasselbe in $2$ genau zur $l$-ten Potenz auf, so folgt aus (3)

$(\alpha _{i}-\alpha _{i'})(\alpha _{i}+\alpha _{i'})\equiv 0$,   $({\mathfrak {l}}^{2l})$;

es ist mithin entweder $\alpha _{i}-\alpha _{i'}$ oder $\alpha _{i}+\alpha _{i'}$ durch ${\mathfrak {l}}^{l}$ teilbar, und da offenbar

$\alpha _{i}-\alpha _{i'}\equiv \alpha _{i}+\alpha _{i'}$,[WS 1]   $(2)$

ist, so folgt in jedem Falle

$\alpha _{i}\equiv \alpha _{i'}$,   $({\mathfrak {l}}^{l})$.

Anmerkungen (Wikisource)

1. Vorlage: $\equiv \alpha _{i}+\alpha _{i}$ (ohne ')

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 415. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/432&oldid=- (Version vom 23.2.2020)