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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

ausfällt; endlich setzen wir

${\mathfrak {q}}_{1}^{h}=\left(\varkappa _{1}\right),\dotsc ,q_{\frac {m}{2}}^{h}=\left(\varkappa _{\frac {m}{2}}\right)$,

so daß $\varkappa _{1}$, ..., $\varkappa _{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze Zahlen des Körpers $k$ bedeuten: dann gilt für jede beliebige zu $2$ prime ganze Zahl $\omega$ in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ eine Kongruenz von der Gestalt

$\omega \equiv \varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}\alpha ^{2},\quad (2^{2})$,

worin die Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\alpha$ eine geeignete ganze Zahl in $k$ ist.

Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe $m$ Exponenten $u_{1}$, ..., $u_{\frac {m}{2}}$, $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$, die gewisse Werte $0$, $1$ haben, aber nicht sämtlich gleich $0$ sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl

$\mu =\varepsilon _{1}^{u_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\varkappa _{1}^{v_{1}}\cdots \varkappa _{\frac {m}{2}}^{v_{\frac {m}{2}}}$

(1)

dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach dem Modul $2^{2}$ kongruent werde. Die Zahl ${\sqrt {\mu }}$ bestimmt, wie leicht ersichtlich, einen relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$ in bezug auf $k$. Zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ prim zu $2$ und nach Satz 4 besitzt sie diejenigen von den Primidealen ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ zu Faktoren, für welche in (1) die betreffenden Exponenten $v_{1}$, ..., $v_{\frac {m}{2}}$ gleich $1$ werden. Wegen Satz 27 ist die Anzahl $t$ dieser Primideale mindestens gleich $1$; es seien etwa die $t$ Primideale ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{t}$ diejenigen, die in der Relativdiskriminante des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ als Faktoren enthalten sind.

Ist nun $\varepsilon$ irgendeine Einheit in $k$, die gleich der Relativnorm einer Einheit in $K({\sqrt {\mu }})$ gesetzt werden kann, und bringen wir $\varepsilon$ in die Gestalt

$\varepsilon =\varepsilon _{1}^{e_{1}}\cdots \varepsilon _{\frac {m}{2}}^{e_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$,

wo die Exponenten $e_{1}$, ..., $e_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet, so folgt aus Definition 6 unmittelbar

$\left({\frac {\varepsilon ,\mu }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=+1$

für $i=1,2,\dotsc ,t$ und, da nach Satz 9 mit Rücksicht auf unsere über ${\mathfrak {q}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {q}}_{\frac {m}{2}}$ gemachten Voraussetzungen

$\left({\frac {\varepsilon ,\mu }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=\left({\frac {\varepsilon }{{\mathfrak {q}}_{i}}}\right)=(-1)^{e_{i}},\quad (i=1,2,\dotsc ,t)$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 414. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/431&oldid=- (Version vom 23.2.2020)