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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Satz 25. (Hilfssatz.) Die Anzahl $g$ der verschiedenen Geschlechter im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ ist kleiner oder höchstens gleich der Anzahl $A$ der ambigen Komplexe des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$.

Beweis. Wenn $g$ die Anzahl der Geschlechter ist, in welche sich die Ideale oder die Idealklassen des Körpers $K$ einteilen, so zerfallen zufolge der letzten Bemerkung in § 18 auch die Komplexe des Körpers $K$ genau in $g$ Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit $f$ die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche $M$ heiße, genau

$M=gf$.

Wie bereits in § 18 bemerkt worden ist, gehört das Quadrat einer beliebigen Klasse $C$ stets zum Hauptgeschlecht, und daher ist auch das Quadrat eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche Quadrate von Komplexen sind; ihre Anzahl sei $f'$, und wir bezeichnen sie mit $P_{1}$, …, $P_{f'}$, so daß $P_{1}=Q_{1}^{2}$, ..., $P_{f'}=Q_{f'}^{2}$ wird, wo $Q_{1}$, ..., $Q_{f'}$ gewisse Komplexe bedeuten. Es fällt offenbar $f'\leqq f$ aus. Ist jetzt $P$ ein beliebiger Komplex, so wird $P^{2}$ notwendig ein bestimmter der $f'$ Komplexe $P_{1}$, ..., $P_{f'}$; es sei etwa $P^{2}=P_{i}$. Dann folgt $P^{2}=Q_{i}^{2}$, d. h. $(PQ_{i}^{-1})^{2}=1$ und nach § 12 ist aus diesem Grunde $PQ_{i}^{-1}$ ein ambiger Komplex $A$; es wird $P=AQ_{i}$, und folglich stellt der Ausdruck $AQ_{i}$ überhaupt alle Komplexe dar, sobald $A$ alle ambigen Komplexe und $Q_{i}$ die $f'$ Komplexe $Q_{1}$, ..., $Q_{f'}$ durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe

$M=Af'$.

Die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der vorhin gefundenen $M=gf$ liefert $gf=Af'$, und wegen $f'\leqq f$ folgt hieraus $g\leqq A$, womit der Satz 25 bewiesen ist.

Nunmehr sind wir imstande, die folgende Tatsache zu beweisen, welche für unsere späteren Entwicklungen von besonderer Bedeutung ist:

Satz 26. (Hilfssatz.) Wenn im Körper $K$ die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, gleich $r$ ist, so genügt die Anzahl $g$ der Geschlechter jenes Körpers stets der Bedingung

$g\leqq 2^{r-1}$.

Beweis. Nach Satz 23 ist die Anzahl $A$ aller ambigen Komplexe in $K$

$A=2^{a}=2^{t+\nu -{\frac {m}{2}}-1}$.

Nach Satz 24 gilt die Ungleichung

$t+\nu -{\frac {m}{2}}\leqq r$;

mithin ist auch

$A\leqq 2^{r-1}$

und daraus folgt, vermöge Satz 25, die Richtigkeit des Satzes 26.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 411. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/428&oldid=- (Version vom 23.2.2020)