so daß die Exponenten
, ...,
,
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
, jedoch nicht sämtlich den Wert
haben und
eine geeignete Einheit in
vorstellt: dann müßte für jedes Primideal
des Körpers
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ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten
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, ..., , , ...,
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sämtlich Relativnormen von Zahlen in
sind und daher auch stets
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,
|
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sein muß, so ergibt sich
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.
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Hierin setzen wir der Reihe nach für
jedes der
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale
, ...,
ein und erhalten so die Gleichungen
, .
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(2)
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Wegen des in § 17 aufgestellten Systems von Formeln (1) für die Einheiten
, ...,
können diese Gleichungen (2) nur bestehen, wenn die Exponenten
, ...,
sämtlich gerade und also gleich
sind. Die Relation (1) erhält dann die Gestalt
|
.
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Das Bestehen dieser Relation ist aber, da nach § 16 die durch
, ...,
,
, ...,
bestimmten Einheitenverbände voneinander unabhängig sind, nur möglich, falls die Exponenten
, ...,
,
, ...,
sämtlich gerade und also gleich
sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (1), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die aus den Einheiten
, ...,
,
, ...,
,
, ...,
entspringenden Verbände sind voneinander unabhängig; durch Multiplikation erhalten wir also aus diesen Verbänden genau
voneinander verschiedene Einheitenverbände in
, und da es im ganzen in
nach § 11 nur
Einheitenverbände gibt, so haben wir
. Hiermit deckt sich die Aussage des Satzes 24.
Da nach der Bemerkung am Schluß von § 15 stets
und also um so mehr
ausfällt, so folgt aus Satz 24 insbesondere
und also
.