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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

des Körpers $k$ mit ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ und machen für die folgenden Definitionen und Beweise in § 17 bis § 19 die vorläufige Annahme, daß diese Primideale ${\mathfrak {d}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {d}}_{t}$ sämtlich zu $2$ prim sind, oder, was nach Satz 5 im wesentlichen auf das nämliche hinauskommt, daß die Zahl $\mu$ zu $2$ prim ist und zugleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in $k$ nach $2^{2}$ kongruent ausfällt. Erst im Laufe der weiteren Untersuchung werden wir diese Einschränkung aufheben.

Definition 11. Zu einer beliebigen ganzen von $0$ verschiedenen Zahl $\nu$ des Körpers $k$ gehören bestimmte Werte der $t$ einzelnen Symbole

$\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right),$

welche gemäß der Definition 6 gewisse $t$ Einheiten $\pm 1$ bedeuten; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl $\nu$ im Körper $K({\sqrt {\mu }})$ heißen.

Um auch einem jeden Ideal ${\mathfrak {J}}$ des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm $N({\mathfrak {J}})={\mathfrak {j}}$ und dann ihre $h$-te Potenz ${\mathfrak {j}}^{h}=(\nu )$, wo $\nu$ eine ganze Zahl in $k$ sein soll. Nunmehr verstehen wir unter $\xi _{1}$ eine Einheit in $k$. Haben dann für jede beliebige Einheit $\xi _{1}$ alle $t$ Symbole

$\left({\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\xi _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

durchweg den Wert $+1$, so setzen wir $r=t$ und bezeichnen die $r$ Einheitswurzeln

$\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\nu ,\mu }{{\mathfrak {d}}_{r}}}\right)$

als das Charakterensystem des Ideals ${\mathfrak {J}}$; dasselbe ist dann durch das Ideal ${\mathfrak {J}}$ völlig eindeutig bestimmt.

Es sei andererseits eine spezielle Einheit $\varepsilon _{1}$ in $k$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)$

gleich $-1$ wird; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa $\textstyle \left({\frac {\varepsilon _{1},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=-1$. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten $\xi _{2}$ in $k$, für welche $\textstyle \left({\frac {\xi _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$ wird. Es sei unter diesen wieder eine solche Einheit $\xi _{2}=\varepsilon _{2}$ vorhanden, für welche wenigstens eines der $t-1$ Symbole

$\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{1}}}\right),\dotsc ,\left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)$

gleich $-1$ wird; dann können wir annehmen, es sei etwa $\textstyle \left({\frac {\varepsilon _{2},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=-1$. Wir betrachten ferner alle diejenigen Einheiten $\xi _{3}$, für welche sowohl $\textstyle \left({\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t}}}\right)=+1$ als auch $\textstyle \left({\frac {\xi _{3},\mu }{{\mathfrak {d}}_{t-1}}}\right)=+1$ wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 407. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/424&oldid=- (Version vom 23.2.2020)