wo
eine Zahl in
bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl
eine Einheit
in
wird; wir können demgemäß
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setzen, wo die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl
,
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wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls
ist, die Gleichung
.
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Wegen dieser Gleichung haben wir
.
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(8)
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Nunmehr entsteht aus der Gleichung
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vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale
,
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und wenn daher zur Abkürzung
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(9)
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gesetzt wird, so erhalten wir schließlich
,
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d.h.
ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers
und folglich zeigt die Gleichung (9), daß
einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe
, ...,
,
, ...,
in ein Ideal des Körpers
äquivalent ist. Da die ambigen Ideale
, ...,
als gewisse Produkte aus den Idealen
, ...,
darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß
gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in
ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.
§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper
.
Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers
in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale