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wo eine Zahl in bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl eine Einheit in wird; wir können demgemäß

setzen, wo die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl

,

wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls ist, die Gleichung

.

Wegen dieser Gleichung haben wir

. (8)

Nunmehr entsteht aus der Gleichung

vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale

,

und wenn daher zur Abkürzung

(9)

gesetzt wird, so erhalten wir schließlich


,

d.h. ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers und folglich zeigt die Gleichung (9), daß einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe , ..., , , ..., in ein Ideal des Körpers äquivalent ist. Da die ambigen Ideale , ..., als gewisse Produkte aus den Idealen , ..., darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.

§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper .

Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die in der Relativdiskriminante des Körpers aufgehenden Primideale

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 406. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/423&oldid=- (Version vom 23.2.2020)