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genau Einheitenverbände in ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers genau , wo die Zahl

bedeutet.

Beweis. Wir machen über die Zahl zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in , welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in sind, betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten , ..., gewisse Einheiten , ..., von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten , ..., sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen , ..., des Körpers , so daß die Gleichungen

(1)

bestehen, und überdies soll jede Einheit in , welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt

darstellbar sein, wo die Exponenten , ..., , , ..., gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Es sind dann die aus , ..., , , ..., entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.

Wir setzen nun

wo und je zwei zueinander prime Ideale des Körpers seien; dann folgt wegen (1) und hieraus

(2)

und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir , d. h. die durch die Ideale bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.

Wir wollen nun beweisen, daß diese durch die Ideale bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen entspringenden

ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers ein Produkt von denjenigen

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 404. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/421&oldid=- (Version vom 23.2.2020)