genau
Einheitenverbände in
ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers
genau
, wo
die Zahl
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bedeutet.
Beweis. Wir machen über die Zahl
zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in
, welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in
sind,
betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten
, ...,
gewisse
Einheiten
, ...,
von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten
, ...,
sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen
, ...,
des Körpers
, so daß die Gleichungen
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(1)
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bestehen, und überdies soll jede Einheit
in
, welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in
ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
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darstellbar sein, wo die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Es sind dann die aus
, ...,
,
, ...,
entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.
Wir setzen nun
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wo
und
je zwei zueinander prime Ideale des Körpers
seien; dann folgt wegen (1)
und hieraus
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(2)
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und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir
, d. h. die durch die Ideale
bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.
Wir wollen nun beweisen, daß diese
durch die Ideale
bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen
entspringenden
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ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers
ein Produkt von denjenigen
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