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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

gewisse Exponenten $0$, $1$ und ${\mathfrak {n}}^{(i)}$ wiederum gewisse Ideale in $k$ sind. Das Bestehen dieser Gleichungen (15) ist aber unmöglich. In der That, bestimmen wir $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ ganze rationale Zahlen

$a^{(1)},\dotsc ,a^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)}$,

die nicht sämtlich gerade sind, derart daß nach dem Modul $2$ die $\textstyle {\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1$ Kongruenzen

$\sum _{(i)}a^{(i)}B^{(i)}\equiv 0,\sum _{(i)}a^{(i)}B_{1}^{(i)}\equiv 0,\dotsc ,\sum _{(i)}a^{(i)}B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)}\equiv 0,(2)$,

$\left(i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)$

gelten, so ergibt sich, indem wir (15) in die $a^{(i)}$-te Potenz erheben und die so für $i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ entstehenden Gleichungen miteinander multiplizieren, eine Gleichung von der Gestalt:

${\mathfrak {D}}_{1}^{a^{(1)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}^{a^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)}}={\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{E^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3\right)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{E^{(t)}}{\mathfrak {n}}$,

(16)

wo die Exponenten $E^{\left({\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3\right)}$, ..., $E^{(t)}$ gewisse Werte $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {n}}$ ein Ideal in $k$ ist. Diese Gleichung (16) ist unmöglich, weil ihre linke Seite wenigstens einen der Primfaktoren ${\mathfrak {D}}_{1}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ zu einer ungeraden Potenz erhoben enthält, rechts dagegen diese Primfaktoren nur in ${\mathfrak {n}}$ und also sämtlich zu einer geraden Potenz vorkommen. Wir müssen daher unsere ursprüngliche Annahme verwerfen, wonach der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ entspringende Komplex sich durch die aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}$, ..., ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden Komplexe sollte ausdrücken lassen; mithin haben wir gezeigt, daß es in $K({\sqrt {\mu }})$ genau $2^{a^{\ast }}$ Komplexe von der Art gibt, wie es Satz 22 behauptet.

In dem soeben geführten Beweise für Satz 22 wurde zu Anfang der Fall ausgeschlossen, daß $\mu$ gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ ausfällt; es lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit die Abänderungen auffinden, welche in diesem speziellen Falle an dem eben mitgeteilten Beweise anzubringen sind.

Da die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe mindestens gleich $1$ ist, so folgt insbesondere aus dem Satze 22 die Ungleichung

$t+v^{\ast }-{\frac {m}{2}}>0$.

§ 16. Die Anzahl aller ambigen Komplexe in $\mathbf {K}$.

Satz 23. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ gleich $2^{t}$ ist und wenn diejenigen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten oder von gebrochenen Zahlen des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ sind, zusammen

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 403. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/420&oldid=- (Version vom 23.2.2020)