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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

da die durch $\eta _{1}$, …, $\eta _{v^{*}}$ bestimmten Einheitenverbände in $k$ voneinander unabhängig sein sollen, so folgt hieraus, daß die Exponenten $U'_{1}$, ..., $U'_{v^{\ast }}$ sämtlich gerade sind. Wir setzen nun in Formel (11) die Werte

${\begin{aligned}{\mathsf {E}}&={\frac {\mathsf {A}}{S{\mathsf {A}}}},\\{\mathsf {H}}_{1}^{U'_{1}}&=\left({\frac {{\mathsf {H}}_{1}}{S{\mathsf {H}}_{1}}}\eta _{1}\right)^{{\frac {1}{2}}U'_{1}},\ldots ,{\mathsf {H}}_{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}=\left({\frac {{\mathsf {H}}_{v^{*}}}{S{\mathsf {H}}_{v^{*}}}}\eta _{v^{*}}\right)^{{\frac {1}{2}}U'_{v^{*}}},\\{\mathsf {H}}'_{v^{*}+1}&={\frac {{\mathsf {M}}_{1}}{S{\mathsf {M}}_{1}}},\ldots ,{\mathsf {H}}'_{\frac {m}{2}}={\frac {{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}{S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}}\end{aligned}}$

ein und erhalten dann, wenn zur Abkürzung

${\mathsf {B}}={\mathsf {A}}^{-u}{\mathsf {H}}_{1}^{{\frac {1}{2}}U'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{{\frac {1}{2}}U'_{v^{*}}}\cdot {\mathsf {M}}_{1}^{U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{U_{\frac {m}{2}}}$

(12)

gesetzt wird, aus (11) die Gleichung

${\frac {\mathsf {B}}{S{\mathsf {B}}}}=\xi ''$,

(13)

wo $\xi ''$ wiederum eine Einheit in $k$ bezeichnet. Wir bilden die Relativnorm von (13) und erhalten so $\xi ''^{2}=1$; wir setzen $\xi ''=(-1)^{a}$, wo $a$ einen der Werte $0$, $1$ bedeute. Demgemäß können wir (13) in die Gestalt

${\frac {{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}}{S\left\{{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}\right\}}}=1$ oder $B({\sqrt {\mu }})^{a}=S\left\{{\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}\right\}$

bringen, d. h. ${\mathsf {B}}({\sqrt {\mu }})^{a}$ ist eine Zahl in $k$. Indem wir die Werte (9) und (12) für die Zahlen ${\mathsf {A}}$ und ${\mathsf {B}}$ benutzen und bedenken, daß $u$ eine ungerade Zahl ist, leiten wir aus der zuletzt gefundenen Tatsache leicht eine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}={\mathfrak {M}}^{b}{\mathfrak {M}}_{1}^{b_{1}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{b_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{d_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{d_{t}}{\mathfrak {m}}$

(14)

ab, worin $b$, $b_{1}$, ..., $b_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}$, $d_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}$, ..., $d_{t}$ gewisse Werte $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {m}}$ ein Ideal in $k$ ist. Setzen wir diesen Wert für ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}$ in die rechten Seiten der Formeln (8) ein und fügen wir den so entstehenden ${\frac {m}{2}}-v^{\ast }+1$ Gleichungen noch die Gleichung (14) hinzu, so erhalten wir ein System von ${\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2$ Gleichungen von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{i}={\mathfrak {M}}^{B^{(i)}}{\mathfrak {M}}_{1}^{B_{1}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)}}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{D_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{(i)}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{D_{t}^{(i)}}{\mathfrak {n}}^{(i)}$,

(15)

$\left(i=1,2,\dotsc ,{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2\right)$,

worin

$B^{(i)},B_{1}^{(i)},B_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }}^{(i)},D_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+3}^{(i)},\dotsc ,D_{t}^{(i)}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 402. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/419&oldid=- (Version vom 23.2.2020)