aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist also sicher nicht größer als
und die Anzahl aller überhaupt aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist demnach nicht größer als
.
Wir beweisen jetzt, daß die aus den
ambigen Primidealen
, …,
entspringenden
Komplexe wirklich voneinander unabhängig sind. In der Tat, würde einer dieser Komplexe, etwa der aus
entspringende Komplex, sich durch die übrigen ausdrücken lassen, so müßte eine Äquivalenz von der Gestalt
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statthaben, worin
, …,
gewisse Exponenten
,
bedeuten und
ein Ideal in
ist. Verstehen wir unter
ein Ideal in
, für welches in
die Äquivalenz
gilt, so folgt die weitere Äquivalenz
;
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wir können demnach
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(9)
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setzen, wobei
eine ganze Zahl des Körpers
bedeuten soll.
Da der Gleichung (9) zufolge das Hauptideal
seinem relativ konjugierten Ideale gleich sein muß, so findet eine Gleichung von der Gestalt
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(10)
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statt, wo
eine Einheit in
bedeutet. Nun wenden wir den Satz 19 auf die Einheit
an; es sei demgemäß
ein ungerader Exponent, so daß
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wird, wo die Exponenten
, …,
gewisse ganze rationale Werte haben und
eine Einheit in
ist. Wegen (1) können wir auch setzen
,
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(11)
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wo
, …,
die in (1) bestimmten Einheiten,
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten sind und
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Wenn wir hierin auf beiden Seiten die Relativnorm bilden und berücksichtigen, daß wegen (10)
wird und daß auch die Relativnormen der Einheiten (1) den Wert
haben, so ergibt sich leicht
;
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