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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist also sicher nicht größer als $a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$ und die Anzahl aller überhaupt aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist demnach nicht größer als $2^{a^{*}}$.

Wir beweisen jetzt, daß die aus den $a^{*}$ ambigen Primidealen ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$, …, ${\mathfrak {D}}_{t}$ entspringenden $a^{*}$ Komplexe wirklich voneinander unabhängig sind. In der Tat, würde einer dieser Komplexe, etwa der aus ${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}$ entspringende Komplex, sich durch die übrigen ausdrücken lassen, so müßte eine Äquivalenz von der Gestalt

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}\sim {\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}$

statthaben, worin $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}$, …, $e_{t}$ gewisse Exponenten $0$, $1$ bedeuten und ${\mathfrak {j}}$ ein Ideal in $k$ ist. Verstehen wir unter ${\mathfrak {j}}'$ ein Ideal in $k$, für welches in $k$ die Äquivalenz ${\mathfrak {j}}'{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}^{2}\sim {\mathfrak {j}}$ gilt, so folgt die weitere Äquivalenz

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}'\sim 1$;

wir können demnach

${\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+2}{\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}+3}}\cdots {\mathfrak {D}}_{t}^{e_{t}}{\mathfrak {j}}'=({\mathsf {A}})$

(9)

setzen, wobei ${\mathsf {A}}$ eine ganze Zahl des Körpers $K$ bedeuten soll.

Da der Gleichung (9) zufolge das Hauptideal $({\mathsf {A}})$ seinem relativ konjugierten Ideale gleich sein muß, so findet eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {A}}={\mathsf {E}}\cdot S{\mathsf {A}}$

(10)

statt, wo ${\mathsf {E}}$ eine Einheit in $K$ bedeutet. Nun wenden wir den Satz 19 auf die Einheit ${\mathsf {E}}$ an; es sei demgemäß $u$ ein ungerader Exponent, so daß

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi$

wird, wo die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze rationale Werte haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ ist. Wegen (1) können wir auch setzen

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U'_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}{\mathsf {H'}}_{v^{*}+1}^{U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {H'}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi '$,

(11)

wo ${\mathsf {H}}'_{v^{*}+1}$, …, $H'_{\frac {m}{2}}$ die in (1) bestimmten Einheiten, $U'_{1}$, …, $U'_{v^{*}}$ gewisse ganze rationale Exponenten sind und $\xi '$ wiederum eine Einheit in $k$ bedeutet. Wenn wir hierin auf beiden Seiten die Relativnorm bilden und berücksichtigen, daß wegen (10) $N({\mathsf {E}})=1$ wird und daß auch die Relativnormen der Einheiten (1) den Wert $1$ haben, so ergibt sich leicht

$1=\eta _{1}^{U'_{1}}\cdots \eta _{v^{*}}^{U'_{v^{*}}}\xi '^{2}$;

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 401. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/418&oldid=- (Version vom 29.12.2019)