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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

keine Relation von der Gestalt

${\mathfrak {M}}^{e}{\mathfrak {M}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {M}}_{{\frac {m}{s}}-v^{*}}^{e_{{\frac {m}{s}}-v^{*}}}={\mathfrak {j}}^{*}$

(4)

stattfinden kann, wo die Exponenten $e$, $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ irgendwelche Werte $0$, $1$ haben und ${\mathfrak {j}}^{*}$ ein Ideal in $k$ bedeutet, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich gleich $0$ sind und ${\mathfrak {j}}^{*}=1$ wird.

Zu dem Zwecke erheben wir die Relation (4) in die $h$-te Potenz und setzen ${\mathfrak {j}}^{h}=(\iota )$, wo $\iota$ eine ganze Zahl in $k$ bedeutet; wir erhalten dann eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {M}}^{eh}{\mathsf {M}}_{1}^{e_{1}h}\cdots {\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}=\iota {\mathsf {E}}$,

wo ${\mathsf {E}}$ eine Einheit des Körpers $K({\sqrt {\mu }})$ ist. Wenden wir auf diese Relation die Substitution $S$ an und dividieren sie dann durch die so entstehende neue Relation, so folgt

$\left({\frac {\mathsf {M}}{S{\mathsf {M}}}}\right)^{eh}\left({\frac {{\mathsf {M}}_{1}}{S{\mathsf {M}}_{1}}}\right)^{e_{1}h}\cdots \left({\frac {{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}{S{\mathsf {M}}_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}}\right)^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}$

oder vermöge (2)

$(-1)^{eh}{{\mathsf {H}}'}_{v^{*}+1}^{e_{1}h}\cdots {{\mathsf {H}}'}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\frac {\mathsf {E}}{S{\mathsf {E}}}}$.

Wir schreiben diese Relation in der Gestalt

${{\mathsf {H}}'}_{v^{*}+1}^{e_{1}h}\cdots {{\mathsf {H}}'}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}h}={\mathsf {E}}^{2}\xi$,

(5)

wo $\xi ={\frac {(-1)^{eh}}{N({\mathsf {E}})}}$ eine Einheit in $k$ bezeichnet.

Nach Satz 19 gibt es für jede Einheit ${\mathsf {E}}$ einen ungeraden Exponenten $u$, so daß

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots H_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}\xi '$

(6)

wird, wo die Exponenten $U_{1}$, …, $U_{\frac {m}{2}}$ gewisse ganze rationale Werte haben und $\xi '$ eine Einheit in $k$ ist; aus (5) und (6) folgt mit Rücksicht auf (1) eine Gleichung von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{E_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{v^{*}}^{E_{v^{*}}}{\mathsf {H}}_{v^{*}+1}^{e_{1}hu-2U_{v^{*}+1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}hu-2U_{\frac {m}{2}}}\xi ''=1,$

(7)

wo $E_{1}$, …, $E_{v^{*}}$ gewisse ganze rationale Exponenten sind und $\xi ''$ wiederum eine Einheit in $k$ bedeutet. Da $h$ und $u$ ungerade Zahlen sind, so würde, wenn unter den Zahlen $e_{1}$, …, $e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}$ auch nur eine gleich $1$ ausfiele, notwendig der betreffende Exponent in der Reihe

$e_{1}hu-2U_{v^{*}+1},\ldots ,e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}hu-2U_{\frac {m}{2}}$

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 399. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/416&oldid=- (Version vom 9.9.2019)