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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

§ 15. Die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden ambigen Komplexe in $K$.

Satz 21. Ein ambiger Komplex $P$ des relativquadratischen Körpers $K$ enthält lauter ambige Klassen. Die Anzahl der ambigen Klassen in $K$ ist genau gleich der $h$-fachen Anzahl der ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn $C$ irgendeine Klasse des ambigen Komplexes $P$ ist, so folgt aus $P=SP$ offenbar $C=c\cdot SC$, wo $c$ eine der $h$ Klassen des Körpers $k$ bedeutet. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir leicht $1=c^{2}$ und da andererseits auch $c^{h}=1$ ist, wobei die Klassenanzahl $h$ eine ungerade Zahl sein soll, so folgt $c=1$, d. h. es wird $C=SC$; mithin ist $C$ eine ambige Klasse. Soll andererseits $C=cC$ sein, wo $c$ eine Klasse in $k$ ist, so folgt ebenso $c=1$ und damit ergibt sich die zweite Aussage des Satzes 21.

Satz 22. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ gleich $2^{t}$ ist und wenn diejenigen Einheiten in $k$, welche Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, zusammengenommen $2^{v^{*}}$ Einheitenverbände in $k$ ausmachen: dann ist die Anzahl derjenigen ambigen Komplexe des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$, welche aus ambigen Idealen entspringen, genau gleich $2^{a^{*}}$, wo $a^{*}$ den Wert

$a^{*}=t+v^{*}-{\frac {m}{2}}-1$

hat.

Beweis. Wir nehmen im folgenden zunächst an, daß die Zahl $\mu$ nicht das Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers $k$ sei; es ist dann jeder Ausdruck $[\xi ]$ notwendig eine in $k$ gelegene Einheit $\xi$.

Nunmehr mögen, wie in Satz 20, ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ und

$\eta _{1}=N({\mathsf {H}}_{1})$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}=N\left({\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}\right)$

deren Relativnormen bedeuten. Nach Satz 20 läßt sich bei unserer Annahme jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ ist, in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}\xi ^{2}$

darstellen, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $\xi$ eine Einheit in $k$ bedeutet. Da nun die Anzahl der Verbände von Einheiten in $k$, die Relativnormen von Einheiten in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ sind, nach Voraussetzung $2^{v^{*}}$ betragen soll, so muß es möglich sein, unter den $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{\frac {m}{2}}$ gewisse $v^{*}$ auszuwählen – es seien hierfür die Einheiten $\eta _{1}$, …, $\eta _{v^{*}}$ geeignet – derart, daß jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm einer Einheit in $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 397. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/414&oldid=- (Version vom 9.9.2019)