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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

darstellbar, wo $U_{1}$, …, $U_{m-1}$ ganze rationale Exponenten und ${\mathsf {Z}}$ eine Einheitswurzel bezeichnet. Nun ist ${\mathsf {Z}}$ offenbar entweder eine in $k$ liegende Einheitswurzel oder die Quadratwurzel aus einer in $k$ liegenden Einheitswurzel, multipliziert in eine Einheitswurzel ${\mathsf {Z}}^{*}$ mit ungeradem Wurzelexponenten $u^{*}$; wir dürfen daher ${\mathsf {Z}}=[\xi ]{\mathsf {Z}}^{*}$ setzen, wo $[\xi ]$ die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wenn wir dann die Gleichung (6) in die $u=u^{*}A_{m-1}^{'}B_{m-2}^{'}\ldots$-te Potenz erheben, so folgt, bei Benutzung der Gleichungen (3), (5) und der späteren analogen, eine Relation, welche, da $u$ ungerade ausfällt, die Richtigkeit des Satzes 19 erkennen läßt.

Definition 10. Die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ welche die Eigenschaft des Satzes 19 besitzen, nenne ich ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K\left({\sqrt {\mu }}\right)$ in bezug auf $k$.

Satz 20. (Hilfssatz.) Wenn $H_{1}$, …, $H_{\frac {m}{2}}$ ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers $K$ bilden und deren Relativnormen bez. mit

$\eta _{1}=N({\mathsf {H}}_{1}),\,\ldots ,\,\eta _{\frac {m}{2}}=N\left({\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}\right)$

bezeichnet werden, so läßt sich jede Einheit $\varepsilon$ in $k$, welche die Relativnorm irgendeiner Einheit ${\mathsf {E}}$ des Körpers $K$ ist, in der Gestalt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{u_{\frac {m}{2}}}N([\xi ])$

darstellen, wo die Exponenten $u_{1}$, …, $u_{\frac {m}{2}}$ gewisse Werte $0$, $1$ haben und $[\xi ]$ eine Einheit in $k$ oder eine in $K$ liegende Quadratwurzel aus einer Einheit in $k$ bezeichnet.

Beweis. Nach dem Satze 19 gilt für die Einheit ${\mathsf {E}}$ eine Gleichung

${\mathsf {E}}^{u}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}[\xi ]$,

wo die Bezeichnungen wie im Satz 19 zu verstehen sind. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, ergibt sich

$\varepsilon ^{u}=\eta _{1}^{U_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}N([\xi ])$

und hieraus folgt

$\varepsilon =\eta _{1}^{u_{1}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{U_{\frac {m}{2}}}N([\xi ^{*}])$,

wenn allgemein $u_{i}=0$ oder $=1$ genommen wird, je nachdem $U_{i}$ gerade oder ungerade ausfällt und wo ferner

$[\xi ^{*}]=\eta _{1}^{\frac {U_{1}-u_{1}}{2}}\cdots \eta _{\frac {m}{2}}^{\frac {U_{\frac {m}{2}}-u_{\frac {m}{2}}}{2}}\varepsilon ^{\frac {1-u}{2}}[\xi ]$

gesetzt ist; damit ist Satz 20 bewiesen.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 396. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/413&oldid=- (Version vom 9.9.2019)