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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

und wegen dieser Relation (2) zugleich eine Einheit in $K$ sein soll, so steht rechter Hand entweder eine Einheit in $k$ oder die Quadratwurzel aus einer Einheit in $k$; wir schreiben demgemäß die Relation (2) in der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}=[\xi ],$

und hieraus folgt

${\mathsf {H}}_{m-1}^{A_{m-1}^{'}}={\mathsf {H}}_{1}^{-A_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-2}^{-A_{m-2}^{'}}[\xi ],$

(3)

wo $[\xi ]$ die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat.

Nunmehr schalten wir die Einheit ${\mathsf {H}}_{m-1}$ aus dem ursprünglichen System von Grundeinheiten aus und betrachten nur die Gesamtheit der $\textstyle {\frac {3m}{2}}-3$ Einheiten

${\mathsf {H}}_{1},\,\ldots ,\,{\mathsf {H}}_{m-2},\quad \varepsilon _{1},\,\ldots ,\,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$.

Falls noch $\textstyle {\frac {m}{2}}-2>0$ ausfällt, besteht zwischen diesen Einheiten eine Relation von der Gestalt

${\mathsf {H}}_{1}^{B_{1}}\,\cdots \,{\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}}\varepsilon _{1}^{b_{1}}\,\cdots \,\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{b_{{\frac {m}{2}}-1}}=1$,

(4)

wo $B_{1}$, …, $B_{m-2}$, $b_{1}$, …, $b_{{\frac {m}{2}}-1}$ ganze rationale Exponenten und $B_{1}$, …, $B_{m-2}$ nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

$B_{1}=2^{f}B_{1}^{'},\,\ldots ,\,B_{m-2}=2^{f}B_{m-2}^{'}$;

dabei bedeute $2^{f}$ die höchste in den sämtlichen Zahlen $B_{1}$, …, $B_{m-2}$ aufgehende Potenz von $2$ und es sei etwa $B_{m-2}^{'}$ eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

${\overline {\varepsilon }}=\varepsilon _{1}^{-b_{1}}\cdots \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}^{-b_{{\frac {m}{2}}-1}}$,

so erhalten wir aus der Relation (4) die folgende Gleichung

${\mathsf {H}}_{1}^{B_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}^{'}}={\sqrt[{2^{f}}]{\overline {\varepsilon }}}$

und hieraus schließen wir, wie vorhin, die Gleichung

${\mathsf {H}}_{m-2}^{B_{m-2}^{'}}={\mathsf {H}}_{1}^{-B_{1}^{'}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-3}^{-B_{m-3}^{'}}[\xi ]$,

(5)

wo $[\xi ]$ wiederum die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wir betrachten nun das Einheitensystem ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-3}$, $\varepsilon _{1}$, …, $\varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$. Es läßt sich dann das beschriebene Verfahren offenbar so lange fortsetzen, bis von den ursprünglichen Grundeinheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$ nur $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten, etwa die Einheiten ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$, übrig bleiben; wir erkennen leicht, daß diese Einheiten dann die im Satze 19 verlangte Eigenschaft besitzen. Denn da ${\mathsf {H}}_{1}$, …, ${\mathsf {H}}_{m-1}$ ein System von Grundeinheiten des Körpers $K$ darstellen, so ist überhaupt jede Einheit ${\mathsf {E}}$ in $K$ in der Gestalt

${\mathsf {E}}={\mathsf {H}}_{1}^{U_{1}}\cdots {\mathsf {H}}_{m-1}^{U_{m-1}}{\mathsf {Z}}$

(6)

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 395. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/412&oldid=- (Version vom 9.9.2019)