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	David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie Kapitel 9.II

Die Richtigkeit des Satzes 17 folgt unmittelbar aus dieser Beziehung (6), wenn wir bedenken, daß der Ausdruck

$\left\{1+c_{1}\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\left\{1+c_{2}\left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}\cdots \left\{1+c_{z}\left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)\right\}$

für alle diejenigen Primideale ${\mathfrak {p}}$, die den Bedingungen des Satzes 17 genügen, den Wert $2^{z}$ besitzt und daß dieser Ausdruck für alle anderen Primideale ${\mathfrak {p}}$ des Körpers $k$ verschwindet, abgesehen von den endlich vielen Primidealen, die in $\alpha _{1}\ \alpha _{2}\ldots \ \alpha _{z}$ aufgehen.

Aus der soeben bewiesenen Gleichung des Satzes 17 folgt, indem wir bedenken, daß $\log {\frac {1}{s-1}}$ über alle Grenzen wächst, sofort die folgende Tatsache:

Satz 18. Es seien $\alpha _{1},\ \alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{z}$ irgend $z$ ganze Zahlen in $k,$ welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in $k$ wird: es seien ferner $c_{1},\ c_{2},\ \ldots ,\ c_{z}$ nach Belieben vorgeschriebene Einheiten $\pm 1$: dann gibt es im Körper $k$ stets unendlich viele Primideale ${\mathfrak {p}},$ die den Bedingungen

$\left({\frac {\alpha _{1}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{1},\ \left({\frac {\alpha _{2}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{2},\ \ldots ,\ \left({\frac {\alpha _{z}}{\mathfrak {p}}}\right)=c_{z}$

genügen.

II. Die Theorie der relativquadratischen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.

Um die weiteren Sätze der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper in möglichst leicht faßlicher Weise auszudrücken und ihre Beweise in naturgemäßer Stufenfolge entwickeln zu können, beschränke ich mich fortan in der gegenwärtigen Arbeit auf die Untersuchung eines besonderen Falles, indem ich durchweg folgende zwei Annahmen über den zugrunde gelegten Körper $k$ mache:

1. Der Körper $k$ vom $m$-ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern $k',\ \ldots ,\ k^{(m-1)}$ imaginär.

2. Die Anzahl $h$ der Idealklassen im Körper $k$ sei ungerade.

§ 14. Die relativen Grundeinheiten des Körpers ${\boldsymbol {K}}.$

Infolge der ersteren der beiden soeben gemachten Annahmen ist die Anzahl der Einheiten, welche ein volles System von Grundeinheiten in $k$ bilden, gleich $\textstyle {\frac {m}{2}}-1;$ es sei $\textstyle \varepsilon _{1},\ \ldots ,\ \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}$ ein volles System von Grundeinheiten in $k.$

Wir beweisen zunächst folgende Tatsache:

Satz 19. (Hilfssatz.) Im relativquadratischen Körper $K({\sqrt {\mu }})$ lassen sich stets $\textstyle {\frac {m}{2}}$ Einheiten ${\mathsf {H}}_{1},\ \ldots ,\ {\mathsf {H}}_{\frac {m}{2}}$ finden, so daß für irgendeine Einheit ${\mathsf {E}}$ in

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David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 393. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/410&oldid=- (Version vom 9.12.2022)